Lista pomocnicza / matematyka / L(D)1NE FiR, Z

Lista pomocnicza / matematyka / L(D)1NE FiR, Z
wielomiany, funkcje trygonometryczne, wykładnicze i logarytmiczne
A1. Narysować wykresy funkcji:
a) y = 2x - 4;
b) y = |2x – 4|;
e) y = |x2 – 4x + 4|;
f) y = x2 – 4|x| + 4;
c) y = |2x – 4| – 3;
g) y = |x2 – 4| – 4;
d) y = |x – 4| + |x + 4|;
g) y = –(x – 4)2 + 2.
A2. Sprawdzić, która z poniŜszych nierówności jest prawdziwa:
b) 2 log 2 3 > 2 3 ;
f) |sin3| < |sin4|.
log 2
a) log10 3 10 > log102;
e) sin3 < sin4;
c) 2
A3. Znaleźć pierwiastki równań:
b) x5 + 3 = 3x4 + x;
a) x3 + 2x2 – x = 2;
log 2 3
> 3log 3 2 ;
d)
1
2
log 3 < 13 log 2 ;
d) 3sinx =2cos2x.
c) |sinx + cosx| = 1;
A4. Rozwiązać równania:
a)
3
5 x+2
− x −6 2 =
4
3− x
;
e) 4 x −5 ⋅16 x +3 = 64 ;
b)
3− x
x +3
+ x152 +−3xx = 0 ;
f) 32 x − 2 ⋅ 3x = 3 ;
d) x = 2 − − 10 x − x 2 ;
x+2 = x;
c)
g) 4
x +1
= 64 ⋅ 2
x +1
;
h) log2(10x) + log(x) = 19.
4
A5. Przyporządkować
wykresom
na
rysunkach
obok
odpowiadające im funkcje:
a) log2 x; b) log 1 x ; c) log10 x; d) log 1 x ; e) 2 x ; f) 3 x ;
2
−2
g) 2
−x
3
10
2
; h) 2sinx; i) sinx – cosx; j) sin x; k) cos2x.
2
2
π
1
1
-π
π
2π
-2
-1
1
2
3
-1
-1
-2
-2
A6. Narysować (na wspólnym rysunku) wykresy grupy funkcji:
a) f1(x) = 2x, f2(x) = 2-x, f3(x) = 2x – 3 + 3, f4(x) = 2x-1 + 2-x+1;
b) g1(x) = log2 x, g2(x) = log 1 | x | , g3(x) = log2 (x – 2)2;
-3
2
c) y1(x) = sinx – 1; y2(x) = sinx + sin2x; y3(x) = x + sinx;
y4(x) = xsinx, y5(x) = cos2x.
B7. Rozwiązać równania (i nierówności):
1− x
a) ( 12 ) | x| ≤ 1 ;
b) sin(4x) = sin(3x);
c) tgx tg7x = 1;
d) log 2 ( 3 x − 7 ) ≤ 1 ;
e) log 1 (1 − 2 x) > −1 ;
f)
g)
4
x + x = 12;
x + 2 − 2x − 3 = 1;
3
h) 3sin
2
3x
= 2 + 3cos
2
3x
i) log|x|(x4 + x3 – 6x2– 7x) = 4.
;
B8. Znaleźć liczbę pierwiastków równania w zaleŜności od wartości parametru t:
a) (x – 1)2 – 5|x – 1| = t; b) |sinx + cosx| = t, dla x ∈ [0, π ); c) logt x = sinx;
log x 2 + log y 2 = − 32
B9. Rozwiązać układy równań: a) 
log 2 x + log 2 y = −3
;
d) |x2- 6|x| + 8| = t.
2 log x − log y = log 9
b) 
y−x
1
10 = 100
.
B10. Czy suma funkcji: a) okresowych b) parzystych c) nieparzystych jest funkcją a) okresową
b) parzystą c) nieparzystą? Odpowiedź uzasadnić.
●◘○●◘○●◘○●◘○●◘○●◘○●◘○
funkcja wykładnicza (potęgowa) f (x) = ax, gdzie a > 0, a ≠ 1.
funkcja logarytmiczna g(x) = loga x, gdzie a > 0, a ≠ 1, x > 0; ab = c ⇔ log a c = b .
ax bx = (a b)x; ax + y = ax ay; ax - y = ax : ay; a0 = 1; a-x =
1
ax
loga a = 1; loga 1 = 0; a
= x . log10 x := log x; loge x := lnx,
x n
1 n
lim(1 + n ) = e ; lim(1 + n ) = e x .
k–1
(x )′ = k x
;
n →∞
x
(a )′ = ax ln x; (loga x)′ =
π ≈ 3,14159; π - 180O,
π
2
- 90O,
π
3
1
x ln a
; (ln x)′ =
b
c
1
x
loga b logb c = loga c;
gdzie e ≈ 2,71828 – stała Eulera.
log a x
n →∞
k
( a) .
loga b c = c loga b ;
loga bc = loga b – loga c;
loga bc = loga b + loga c;
b
; a c = c ab =
.
- 60O, etc …
sin(x + π2 ) = cosx; sin(x + 2k π ) = sinx;
cos(x + 2k π ) = cosx; sin2x + cos2x = 1;
sin(x + y) = sinx cosy + cosx siny;
cos(x + y) = cosx cosy – sinx siny;
sin2x = 2sinx cosx; cos2x = cos2x – sin2x;
–1
sin x
tgx = cos
x = (ctgx) ;
(sinx)′ = cosx; (cosx)′ = –sinx; (tgx)′ = (cosx)–2;
(ctgx)′ = –(sinx)–2.
x
0
π
π
π
π
6
4
3
2
sinx
0
1
2
2
2
cosx 1
3
2
tgx
0
1
3
ctgx
–
3
2
2
3
2
1
2
1
1
3
1
3
π
1
0
0
–1
–
0
0
–
funkcja okresowa o okresie t: f (x + t) = f (x) dla dowolnego x.
funkcja parzysta: f (–x) = f (x); funkcja nieparzysta: f (–x) = – f (x) dla dowolnego x.
Ad. A3. b) x5 – x – 3x4 + 3 = 0 ⇔ x(x4 – 1) – 3(x4 – 1) = 0 ⇔ (x – 3)(x – 1)(x + 1)(x2 + 1) = 0.
Ad. A4. f) 3 x := t, t > 0. Ad. A4. h) log(a b) = log a + log b.
Ad. B8. c) Narysować wykresy funkcji sinx i, na przykład, log4 x. Uogólnić spostrzeŜenia osobno dla
t > 1 i osobno dla t < 1.