Teoria zbiorów I - Maciej Bendkowski

MFI
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 4
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
21 października 2016
Teoria zbiorów I
Zadanie 1. Podaj wszystkie elementy poniższych zbiorów:
(i) {0, 1, 2, 3},
(ii) ∅,
(iii) {a, b, c},
(iv) {1, {2, 3}, 4},
(v) {a, {b, {c}}, d},
(vi) {∅, {∅}, {∅, {∅}}},
(vii) {n ∈ N : n | 12},
(viii) {x ∈ R : x2 − 2 = 0},
(ix) {x ∈ R : x2 + 2 = 0}.
Zadanie 2. Podaj przykład takich zbiorów A, B i C, że A ∈ B, B ∈ C oraz A 6∈ C.
Zadanie 3. Czy istnieją zbiory A, B i C takie, że
A ∩ B 6= ∅,
A ∩ C = ∅,
(A ∩ B) \ C = ∅?
Zadanie 4. Udowodnij następujące tożsamości:
(i) A ∪ A = A ∩ A = A,
(ii) A ∩ B = B ∩ A,
(iii) A ∪ B = B ∪ A,
(iv) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
(v) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
(vi) (A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0 ,
(vii) (A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0 ,
(viii) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C),
(ix) A ∪ B = A ∪ (B \ A),
(x) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C.
Zadanie 5. Udowodnij, że:
(i) A ⊆ B ∩ C ↔ A ⊆ B i A ⊆ C,
(ii) A ∩ (B ∪ C) = A ∩ (B ∪ C) ↔ C ⊆ A,
(iii) A ∩ B = A ∪ B ↔ A = B,
(iv) A = B 0 ↔ A ∩ B = ∅ ∧ A ∪ B = X.
Zadanie 6. Udowodnij, że:
(i) (A1 ∪ . . . ∪ An ) ÷ (B1 ∪ . . . ∪ Bn ) ⊆ (A1 ÷ B1 ) ∪ . . . ∪ (An ÷ Bn ),
(ii) (A1 ∩ . . . ∩ An ) ÷ (B1 ∩ . . . ∩ Bn ) ⊆ (A1 ÷ B1 ) ∪ . . . ∪ (An ÷ Bn ).
Strona 1/3
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 4
Semestr zimowy 2016/2017
MFI
Kraków
21 października 2016
Zadanie 7. Zdefiniuj ∪, ∩, \ za pomocą:
(i) ÷, ∩,
(ii) ÷, ∪,
(iii) \, ÷.
Zadanie 8. Pokaż, że nie można zdefiniować:
(i) \ za pomocą ∪, ∩,
(ii) ∪ za pomocą ∩, \.
Zadanie 9. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A i B zachodzą równości:
(i) P(A ∪ B) = {A1 ∪ B1 : A1 ∈ P(A), B1 ∈ P(B)},
(ii) P(
S
i∈I
Ai ) = {
S
i∈I
Bi : Bi ∈ P(Ai )}.
Zadanie 10. Czy jeśli X ⊆ P(X), to X = ∅?
Zadanie 11. Pokaż, że każdy zbiór jest:
(i) sumą wszystkich swoich podzbiorów,
(ii) sumą wszystkich swoich skończonych podzbiorów,
(iii) sumą wszystkich swoich podzbiorów jednoelementowych.
Zadanie 12. Niech An,m ⊆ R dla n, m ∈ N. Znajdź
T S
oraz n m An,m , gdy:
S
An,m ,
T
Bi oraz
T
n,m
n,m
An,m ,
S T
n
m
i∈I
Bi ,
An,m
(i) An,m = {x : n2 6 x < m2 },
(ii) An,m = {x : n 6 x 6 m},
(iii) An,m = {x : n2 6 x < m2 + (n + 1)2 },
(iv) An,m = {x : nm 6 x} (tu n > 0).
Zadanie 13. Udowodnij, że:
(i)
S
(ii)
T
(iii)
S
i∈I
i∈I
i∈I
S
T
T
Aij =
S
j∈J
Aij =
T
j∈J
Aij ⊆
T
j∈J
j∈J
j∈J
j∈J
S
T
i∈I
Aij ,
i∈I
Aij ,
S
i∈I
Aij ,
(iv) w (iii) nie można zamienić inkluzji na równość,
(v) jeśli Ai ⊆ B dla wszystkich i ∈ I, to
S
i∈I
(vi) jeśli B ⊆ Ai dla wszystkich i ∈ I, to B ⊆
(vii) jeśli Ai ⊆ Bi dla wszystkich i ∈ I, to
(viii)
S
(ix)
T
S
i∈I
Ai ⊆ B,
T
i∈I
Ai ,
Ai ⊆
S
i∈I
i∈I
Ai ⊆
T
i∈I
Ai jest najmniejszym zbiorem zawierającym wszystkie zbiory Ai ,
i∈I
Ai jest największym zbiorem zawartym we wszystkich zbiorach Ai ,
Strona 2/3
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 4
Semestr zimowy 2016/2017
MFI
(x) jeśli ( n∈N+ An ) ∩ ( n∈N+ Bn ) = ∅, to
S
S
( n∈N+ An ) ∪ ( n∈N+ Bn ) ⊆ B0 .
T
T
T
n∈N+
Kraków
21 października 2016
An ⊆
S
n∈N+ (An
∩ (Bn−1 \ Bn )), gdzie
Zadanie 14. Sprawdź czy dla każdej indeksowanej rodziny zbiorów {Ai,j }i,j∈N zachodzi:
[ [
Ai,j =
[[
{Ai,j : i, j ∈ N}.
i∈N j∈N
Zadanie 15. Sprawdź czy dla dowolnego zbioru A zachodzi implikacja
A ⊆ P(A) →
[
A ⊆ A.
Zadanie 16. Sprawdź czy dla dowolnych zbiorów A i B zachodzi równość
\
\
P(A ∩ B) = P(
A) ∩ P(
\
B).
Zadanie 17. Niech A ⊆ B. Zbadaj jakie inkluzje zachodzą pomiędzy:
(i)
S
(ii)
T
A oraz
S
B,
A oraz
T
B.
Zadanie 18. Zbadaj jakie inkluzje zachodzą pomiędzy:
(i)
ST
(ii)
TS
i∈I
i∈I
Ai oraz
T
Ai oraz
S
i∈I
i∈I
S
Ai ,
T
Ai .
Zadanie 19. Wskaż zbiór A taki, że A ∩
S
A ma dokładnie trzy elementy.
Zadanie 20. Wskaż zbiór A taki, że A ∩ P(A) ma dokładnie cztery elementy.
Zadanie 21. Czy istnieje zbiór A taki, że P( A) = A?
S
Strona 3/3