n - KGB.pl

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-1-
Przekształcenie zet ( Z )
Definicja przekształcenia Z
Przekształcenie zet jest w dziedzinie czasu dyskretnego odpowiednikiem ciągłego
przekształcenia Laplace’a w dziedzinie czasu ciągłego. Podamy dwie równoważne definicje
przekształcenia zet różniące się jedynie sposobem zapisu matematycznego sygnału
dyskretnego:
•
Dla sygnału zapisanego w postaci ciągu wartości f[n]:
definicja ∞
F (z ) =
•
∑ f [n]z
−n
−∞
Dla sygnału spróbkowanego f*(t) ( wykorzystując przekształcenie Laplace’a )
definicja
F (z ) = L{ f * (t )} e sT p = z
Sygnał dyskretny
∞
f * (t ) = ∑ f (nT p )⋅ δ (t − nT p )
−∞
Transformata Laplace’a (dwustronna) sygnału dyskretnego:
∞
FII * (s ) = ∑ f (nT p )⋅ e
−∞
− nsT p
e
sT p
=z
Stąd po dokonaniu podstawienia zgodnie z definicją otrzymamy wyrażenie jak dla ciągu
∞
F ( z ) = ∑ f (nT p )⋅ z − n
−∞
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-2-
Obszar zbieżności
Ponieważ przekształcenie Z ciągu f[n] jest zdefiniowane jako szereg nieskończony,
zatem istnieje tylko dla tych wartości dla których szereg jest zbieżny. Suma zawiera zarówno
dodatnie jak i ujemne potęgi zmiennej z. Jak wiadomo z teorii szeregów potęgowych suma
ujemnych potęg jest zbieżna dla |z| większego niż pewna stała r1, a suma potęg dodatnich jest
zbieżna dla |z| mniejszego niż pewna stała r2. Wynika stąd, że obszar zbieżności (istnienia)
transformaty Z ma kształt pierścienia o promieniach r1, r2 zależnych od funkcji f[n].
W celu dokładniejszego wyjaśnienia tego zagadnienia wykorzystamy przekształcenie
Laplace’a. Rozpatrzymy odwzorowanie punktów płaszczyzny zmiennej zespolonej s na
punkty płaszczyzny zmiennej zespolonej z.
Zgodnie z definicją przekształcenia Z związek między zmienną z i s opisuje równanie:
z =e
Ponieważ
sT p
s = σ + jω
Stąd
z =e
Czynnik e
jωT p
(σ + jω )T p
=e
σT p
e
jωT p
jest okresowy, zatem odwzorowanie nie jest jednoznaczne.
z =e
σT p
e
jωT p
=e
σT p
e
(
j ωT p + 2π
)
Oznacza to, że każdy dowolny pas na płaszczyźnie zmiennej s określony następująco
ω0 < ω < ω0 +
2π
Tp
−∞ <σ < ∞
odwzorowuje całą płaszczyznę zmiennej z.
Im{s}
Im{z}
Re{s}
ω0
ω0 +
2π
Tp
Re{z}
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-3-
Rozpatrzymy szczególne przypadki odwzorowań:
aT
Obrazem prostej o równaniu s=a (pionowa) na płaszczyźnie s będzie okrąg o promieniu e p
na płaszczyźnie zmiennej z. Oś urojonych ma płaszczyźnie s odwzorowuje się na okrąg
jednostkowy na płaszczyźnie z.
Im{s}
Im{z}
1
0
Re{z}
Re{s}
2π
Tp
Półpłaszczyzna na lewo od prostej s=a na płaszczyźnie s będzie wnętrzem koła o promieniu
aT
e p
Im{s}
0
Im{z}
Re{s}
r>1
Re{z}
2π
Tp
Półpłaszczyzna na prawo od prostej s=a na płaszczyźnie s będzie zewnętrzem koła o
aT
promieniu e p
Im{s}
0
Im{z}
Re{s}
2π
Tp
r>1
Re{z}
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-4-
Rozpatrzymy przykład, który do wyznaczania przekształcenia Z wykorzystuje analogie z
transformacją Laplace’a
Obliczymy dwustronną transformatę Laplace’a sygnału o ciągłym czasie:
x(t ) = e at 1(− t ) + e − bt 1(t )
x(t ) = x− (t ) + x+ (t )
X − (s ) = L{x(− t )}s =− s
X − (s ) =
1
−s+a
Obszar zbieżności dla tego składnika leży na lewo od punktu a na płaszczyźnie s, czyli
aT
wewnątrz okręgu o promieniu e p >1
X + (s ) = L{x(t )}
X + (s ) =
1
s+b
Obszar zbieżności dla tego składnika leży na prawo od punktu –b na płaszczyźnie s, czyli na
− bT
zewnątrz koła o promieniu e p <1
X (s ) =
1
1
+
−s+a s+b
Im{s}
Im{z}
Re{s}
0
-b
a
S
Pas zbieżności pomiędzy –b i a
Re{z}
e
− bT p
e
aT p
Z
pierścień o promieniach e
− bT p
,e
aT p
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-5-
Przykłady wyznaczania transformaty Z podstawowych sygnałów:
Transformata „zet” (Z) delty Kroneckera:
1 dla n = 0
0 dla n ≠ 0
δ [n] = 
f[n]
1
-3 -2 -1
Z{ f [n ]} =
∞
∑
n = −∞
n
1
0
2
3
0
f [n]z −n = ∑ f [n ]z −n = z 0 = 1
n =0
Z
δ [n] →
1
Transformata Z dowolnego ciągu skończonego:
1, n = −1
 2, n = 0

x[n] =  − 1, n = 1
 1, n = 2

 0, inne
f[n]
2
1
-3 -2 -1
Z{ f [n]} =
∞
∑ f [n]z
n = −∞
−n
= z + 2 − z −1 + z −2
0 1
-1
n
2
3
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-6-
Transformata Z skoku jednostkowego:
1 dla n ≥ 0
1[n] = 
0 dla n < 0
f[n]
1
n
-3 -2 -1
Z{ f [n]} =
∞
∑ f [n]z
0
1
2
3
−n
n = −∞
∞
= ∑1 ⋅ z − n
n =0
∞
( )
= ∑ z −1
n =0
n
Wykorzystamy zależność na sumę ciągu geometrycznego:
A − Ax n
A + Ax + ... + Ax = ∑ Ax =
1− x
n =0
N
x < 0 oraz N → ∞ ⇒ x → 0
N −1
Z{ f [n]} =
N −1
n
1
z
=
−1
1− z
z −1
Z
1[n] →
z
z −1
Transformata F(z) posiada biegun w punkcie z=1, oraz pierwiastek w punkcie z=0. Obszar
zbieżności opisuje zależność |z| >|1|, leży na zewnątrz okręgu o promieniu 1.
Im{z}
Re{z}
0
1
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-7-
Transformata Z funkcji wykładniczej ( n ≥ 0 ):
x[n] = a n ⋅1[n]
X (z ) =
∞
∑ x[n]z
−n
n = −∞
∞
= ∑ a n z −n
n =0
∞
(
= ∑ az −1
n =0
)
n
Suma jest zbieżna gdy |a/z|<1 lub |z|>|a|
X (z ) =
1
z
=
−1
1 − az
z−a
Z
a n 1[n] →
z
z−a
Transformata X(z) posiada biegun w punkcie z=a, oraz pierwiastek w punkcie z=0. Obszar
zbieżności opisuje zależność |z| >|a|, leży na zewnątrz okręgu o promieniu a.
Im{z}
Re{z}
0
a
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-8-
Transformata Z funkcji wykładniczej ( n < 0 ):
y[n] = −a n ⋅1[− n − 1]
Y (z ) =
∞
∑ y[n]z
−n
n = −∞
−1
= − ∑ a n z −n
n = −∞
−1
(
= − ∑ az −1
n = −∞
∞
(
)
n
= 1 − ∑ a −1 z
n =0
)
n
Suma jest zbieżna gdy |z/a|<1 lub |z|<|a|
X ( z) = 1−
1
1 − za −1 − 1
z
=
=
−1
−1
z−a
1 − za
1 − za
Z
− a n 1[− n − 1] →
z
z−a
Transformata X(z) posiada biegun w punkcie z=a, oraz pierwiastek w punkcie z=0. Obszar
zbieżności opisuje zależność |z| <|a|, leży na wewnątrz okręgu o promieniu a.
Im{z}
Re{z}
0
a
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-9-
Przykład
Zidentyfikujemy obszary istnienia transformaty Z dla następujących sygnałów:
n
n
 1
1
x[n] =  −  ⋅1[− n] + 2  ⋅1[n ]
 2
4
n
n
 1
1
y[n ] =  −  ⋅1[n] + 2  ⋅1[n]
 2
4
n
n
 1
1
w[n ] =  −  ⋅1[− n] + 2  ⋅1[− n]
 2
4
X(z)
n
∞
 1 
 1 
X ( z ) = ∑  −  + 2∑  
2z 
n =−∞ 
n =0  4 z 
0
∞
= ∑ ( −2 z )
n =0
n
∞
 1 
+ 2∑  
n=0  4 z 
n
n
Pierwsza suma jest zbieżna dla |2z|<1 lub |z|<1/2. Druga suma jest zbieżna dla |1/(4z)|<1 lub
|z|>1/4. Wspólny obszar zbieżności dla tych szeregów stanowi pierścień:
1
1
< z<
4
2
X (z ) =
1
2z
+
1
1 + 2z
z−
4
Im{z}
Re{z}
-1/2
1/4
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-10-
Y(z)
n
∞
∞
 1 
 1 
Y ( z ) = ∑  −  + 2∑  
2z 
n=0 
n =0  4 z 
n
∞
∞
 1 
 1 
= ∑  −  + 2∑  
2z 
n =0 
n =0  4 z 
n
n
Pierwsza suma jest zbieżna dla |1/(2z)|<1 lub |z|>1/2. Druga suma jest zbieżna dla |1/(4z)|<1
lub |z|>1/4. Wspólny obszar zbieżności dla tych szeregów stanowi zewnętrze okręgu:
z>
1
2
Y (z ) =
z
z+
1
2
+
2z
1
z−
4
Im{z}
Re{z}
-1/2
1/4
W(z)
n
0
 1 
 1 
W (z) = ∑  −  + 2 ∑  
2z 
n =−∞ 
n =−∞  4 z 
0
∞
∞
= ∑ ( −2 z ) + 2 ∑ ( 4 z )
n
n =0
n
n
n=0
Pierwsza suma jest zbieżna dla |2z|<1 lub |z|<1/2. Druga suma jest zbieżna dla |4z|<1 lub
|z|<1/4. Wspólny obszar zbieżności dla tych szeregów stanowi wnętrze okręgu:
z<
1
4
W (z ) =
z
z+
1
2
+
Im{z}
Re{z}
-1/2
1/4
2z
1
z−
4
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-11-
Wykorzystanie przekształcenia Laplace’a od wyznaczania transformaty Z:
Transformata Z wykładniczego przebiegu prawostronnego ( t ≥ 0 ):
x(t ) = e −bt 1(t )
∞
x * (t ) = e −bt ⋅ ∑ δ (t − kT p )
k =0
∞
x * (t ) = ∑ e
−bkT p
k =0
δ (t − kT p )
Korzystając z transformaty Laplace’a
∞
X * (s ) = ∑ e
k =0
∞
−bkT p
(
X * (s ) = ∑ e
k =0
∞
(
−bT p
X (z ) = ∑ e
−bT p
X (z ) =
1
k =0
1− e
−bT p
e
e
z −1
− skT p
)
− sT p k
)
k
z −1
X (z ) =
z
z−e
−bT p
1
jest półpłaszczyzną
s+b
położoną na prawo od prostej s=-b dlatego obszarem zbieżności transformaty Z jest
− bT
zewnętrze okręgu o promieniu e p
Ponieważ obszar zbieżności transformaty Laplace’a
X (s ) =
Im{s}
0
-b
Im{z}
Re{s}
Re{z}
0
e
− bT p
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-12-
Transformata Z wykładniczego przebiegu lewostronnego ( t < 0 ):
x(t ) = −e − bt 1(− t )
x * (t ) = −e −bt ⋅
x * (t ) =
−1
∑ δ (t − kT )
p
k = −∞
−1
∑− e
−bkTp
k = −∞
δ (t − kT p )
Korzystając z transformaty Laplace’a
X * (s ) =
−1
∑− e
k = −∞
∞
X * (s ) = − ∑ e
k =1
∞
bkTp
(
X * (s ) = −∑ e
k =1
∞
(
X ( z ) = −∑ e
k =1
∞
(
X ( z) = 1−
e
bT p
bT p
X (z ) = 1 − ∑ e
k =0
−bkTp
z
e
− skT p
skT p
)
sT p k
)
bT p
k
z
)
1
1− e
e
bTp
z
k
=
1− e
bTp
1− e
z −1
bTp
z
=
−z
e
− bTp
−z
X (z) =
z
z −e
− bTp
1
jest półpłaszczyzną
s+b
położoną na lewo od prostej s=-b, dlatego obszarem zbieżności transformaty zet jest wnętrze
− bT
okręgu o promieniu e p
Ponieważ obszar zbieżności transformaty Laplace’a
X (s ) =
Im{s}
0
-b
Im{z}
Re{s}
Re{z}
0
e
− bT p
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-13-
Podstawowe właściwości przekształcenia Z:
Przyjmiemy skrótowe oznaczenie transformaty zet sygnału x[n], istniejącej w obszarze
zbieżności o promieniu Rx
Z
x[n ]←→
X ( z ) dla OZ Rx
LINIOWOŚĆ
Z
ax[n] + by[n]←→
aX ( z ) + bY ( z ) dla OZ Rx ∩ R y (wspólny obszar zbieżności)
Przykład
n
n
1
3
Z
x[n] =   ⋅1[n] −   ⋅1[− n − 1] ←→
2
2
 
 
X (z ) =
−z
1 
3

 z −  z − 
2 
2

dla OZ
1
3
< z<
2
2
oraz
1
− z
1
1
1
Z
4
y [ n ] =   ⋅1[ n ] −   ⋅1[ n] ←
→ Y ( z) =
dla OZ
< z
1 
1
2

 4
 2
 z − 4  z − 2 



n
n
Im{z}
Im{z}
Re{z}
Re{z}
1/2
3/2
1/2
1/4
1
− z
−z
Z
4
ax[n ] + by[n ]←→
a
+b
1 
3
1 
1


 z −  z − 
 z −  z − 
2 
2
4 
2


W przypadku gdy a=b
5
− z
Z
4
ax[n ] + ay[n ]←→
a
dla OZ
1
3


 z −  z − 
4 
2

dla OZ
1
3
< z<
2
2
1
3
< z<
4
2
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-14-
Transformata zet sinusoidalnego przebiegu prawostronnego ( t ≥ 0 ):
x[n ] = sin (nω 0T p )⋅1[n]
Wykorzystamy właściwość liniowości przekształcenia oraz wyprowadzoną wcześniej
transformatę sygnału wykładniczego:
e
− nbT p
Z
1[n]←→
Ponieważ
z
z −e
(
1 α
e − e −α
2j
sin (α ) =
−bT p
)
1 jnω 0Tp
1 − jnω T
1 
z
z

Z
=
1[n ] − e 0 p 1[n ]←→
e
−

jω 0T p
− jω 0T p 
2j
2j
2 j  z −e
z −e

(
− jω T
) (
)(
jω Tp
0 p
− z z −e 0
1 z z −e
=
jω T
− jω T
2j
z−e 0 p z−e 0 p
=
(
(
z jω0Tp
− jω T
−e 0 p
e
2j
(
z2 − z e
jω 0Tp
+e
− jω 0Tp
)
)
)+e
0
=
Z
sin ( nω0Tp ) ⋅1[ n ] ←
→
)=
− jω T
(
− z (e
z jω0Tp
− jω T
−e 0 p
e
2j
z2
jω T
z 2 − ze 0 p − z 2 + ze 0 p
1
=
2 j z 2 − ze jω0Tp − ze − jω0Tp + e − jω0Tp e jω0Tp
jω 0Tp
+e
− jω0Tp
z sin (ω 0Tp )
)
) +1
z − 2 z cos (ω 0Tp ) + 1
2
dla OZ z > 1
Im{z}
1
Re{z}
ODWRÓCENIE SYGNAŁU W CZASIE
1
1
Z
x[− n]←→
X   dla OZ
Rx
z
Odwrócenie sygnału w dziedzinie czasu odpowiada zmianie zmiennej z na z-1 . Zmianie ulega
także obszar zbieżności. Jeżeli Rx jest pierścieniem a<|z|<b to obszar zbieżności sygnału
odwróconego a<|1/z|<b lub 1/b<|z|<1/a
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-15-
PRZESUNIĘCIE SYGNAŁU W CZASIE
Z
x[n − n0 ]←→
z − n0 X ( z ) dla OZ Rx
Mnożenie przez z − n0 wprowadza n0 biegunów w z=0 gdy n0>0. W tym przypadku
jeżeli bieguny nie są redukowane przez pierwiastki X(z), nowy obszar zbieżności nie może
zawierać punktu z=0. Natomiast gdy n0<0 mnożenie przez z − n0 wprowadza n0 biegunów w
nieskończoności. Jeżeli bieguny te nie są redukowane przez pierwiastki X(z), nowy obszar
zbieżności nie może zawierać punktu z = ∞
Przykłady:
f[n]
g[n]=f[n-1]
n
-3 -2 -1
0 1
2
3
n
-3 -2 -1
0 1
2 3
g[0]=f[-1]
g[1]=f[0]
∞
G ( z ) = ∑ g [n]z −n = g [0] + g [1]z −1 + g [2]z −2 + ...
n =0
= f [− 1] + f [0]z −1 + f [1]z −2 + ...


= f [− 1] + z −1  f [0]z + f [1]z −1 + ...


F (z)
Stąd otrzymujemy zależności:
Z
f [n − 1]←→
z −1 F ( z ) + f [− 1]
(
)
Z
f [ n − 2] ←
→ z −1 z −1 F ( z ) + f [ −1] + f [ −2] = z −2 F ( z ) + z −1 f [ −1] + f [ −2]
(
)
z ( Z { f [ n ]} − f [ 0]) = Z { f [ n + 1]}
z Z { f [ n − 1]} − f [ −1] = Z { f [ n ]}
Z
f [ n + 1] ←
→ z ( F ( z ) − f [ 0])



f [ n + 2] ←→ = z z ( F ( z ) − f [ 0]) − f [1]  = z 2 F ( z ) − z 2 f [ 0] − zf [1]




Z
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-16-
MNOŻENIE PRZEZ CIĄG WYKŁADNICZY
z
Z
α n x[n]←→
X   dla OZ α R x
α 
Jeżeli Rx jest pierścieniem a<|z|<b to obszar zbieżności sygnału |a|a<|z|<|a|b. Zmiana obszaru
zbieżności wynika z przesuwania się biegunów funkcji X(z). Wszystkie bieguny zostają w
jednakowej skali równej |a| przesunięte względem z=0.
Wyprowadzimy z definicji przekształcenia zet powyższą własność
∞
Z
a n x[n ]1[n]←→
∑ a n x[n]z −n
n =0
∞
= ∑ x[n]a n z −n
n =0
∞
( )
= X (a z )
= ∑ x[n] a −1 z
−n
n =0
−1
Przykład
Z
a n 1[n]←→
z
z−a
Ponieważ
Z
1[n]←→
z
z −1
to
a −1 z
=
a −1 z − 1
z
=
z−a
Z
a n 1[n]←→
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-17-
SPLOT
Z
x[n]∗ y[n]←→
X ( z )Y ( z ) dla OZ Rx ∩ R y
Splot przebiegów czasowych odpowiada mnożeniu transformat. Z liniowości
przekształcenia wynika, że obszar zbieżności może być większy niż część wspólna obszarów
dla transformat splatanych sygnałów. Taki przypadek zachodzi wtedy wystepuje redukcja
pierwiastków i biegunów.
RÓŻNICZKOWANIE W DZIEDZINIE „ZET”
Z
nx[n ]←→
−z
d
X ( z ) dla OZ Rx
dz
Mnożenie sygnału przez n w dziedzinie czasu odpowiada różniczkowaniu oraz mnożeniu
przez –z w dziedzinie zet. Operacja ta nie zmienia obszaru zbieżności.
Wyprowadzimy tę własność z definicji przekształcenia zet:
∞
Z
n1[n]←→
∑ nz −n =
n =0
= 0 + z −1 + 2 z −2 + 3z −3 + ...
{
}
= − z − z −2 − 2 z −3 − 3z −4 − ...
d
1 + z −1 + 2 z −2 + 3z −3 + ...
= −z
dz
d  z 
= −z 

dz  z − 1
{
stąd
Z
n1[n]←→
−z
d  z 

=
dz  z − 1
 z −1 − z 
= −z
2 
 ( z − 1) 
z
=
(z − 1)2
}
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-18-
Przykład:
Znajdziemy transformatę sygnału
(
)
x[n] = n(− 12 ) 1[n] ∗ ( 14 ) 1[− n]
Oznaczymy:
(
n
−n
)
w[n] = n(− 12 ) 1[n]
n
y[n] = ( 14 ) 1[− n]
−n
Obliczenia dla w[n]:
Z
(− 12 )n 1[n]←→
z
z + 12
dla OZ z >
1
2
Wykorzystamy właściwość różniczkowania w dziedzinie zet:
Z
n(− 12 ) 1[n]←→
−z
n
d  z 

 dla OZ z >
dz  z + 12 
 z + 12 − z 

= − z
 (z + 1 )2 
2


1
−2z
dla OZ z >
=
(z + 12 )2
1
2
1
2
Obliczenia dla y[n]:
Z
( 14 )n 1[n]←→
z
z − 14
dla OZ z >
1
4
Wykorzystamy właściwość inwersji w czasie:
Z
( 14 )−n 1[− n]←→
z −1
z −1 − 14
=
− 4z
z−4
dla OZ
1
z
>
1
4
dla OZ z < 4
Wykorzystamy właściwość transformaty splotu:
Z
x[n] = w[n]∗ y[n ]←→
X ( z ) = W ( z )Y ( z ) dla OZ RW ∩ RY
=
=
− 12 z
(z + )
1 2
2
⋅
− 4z
z−4
2z 2
(z − 4 )(z + 12 )2
dla OZ
1
2
< z <4