Praktyczna metoda wyznaczania odkształceń/naprężeń termicznych

Dariusz Sobala, dr inż.
Materiał dydaktyczny
Praktyczna metoda wyznaczania odkształceń/naprężeń termicznych
w dowolnym przekroju przy dowolnym rozkładzie temperatury
na jego wysokości/szerokości
W najogólniejszym przypadku na przekrój poprzeczny elementu działa rozkład nieliniowy
temperatury. Przy zachowaniu założenia płaskich przekrojów odkształcenia termiczne mogą
występować w postaci wydłużenia, skrócenia lub/i obrotu przekroju. Każdy rozkład
nieliniowy temperatury można rozłożyć na składowe: stałą, liniowo zmienną po
wysokości/szerokości przekroju oraz składową nieliniową po wysokości/szerokości
przekroju. Każdą z ww. składowych można poddać odrębnej analizie, a obliczone wielkości
odpowiednio zsumować. Poniżej przedstawiono wygodną procedurę wyznaczania
odkształceń/naprężeń termicznych w dowolnym przekroju, który poddany jest oddziaływaniu
dowolnego rozkładu temperatury. Ze względu na jej praktyczny charakter przedstawiono
procedurę obliczeń dla rozkładu po wysokości przekroju,. Analogiczny tok postępowania
można zastosować w poprzek przekroju znając kształt występującego tam rozkładu
temperatury i charakterystykę elementu w tym kierunku.
Z
Z
b(z)
X
Y
Hz
z0
z0
b(z)
Rys. 1. Schemat przekroju poprzecznego i widok z boku elementu
Gdyby włókna przekroju nie były ze sobą powiązane, każde z nich odkształciłoby się
swobodnie zgodnie z (1.1)
Z
Z
εs(z)
z
X
X
T(z)
Rys. 2. Rozkład temperatury T(z) na wysokości przekroju i jego odkształcenia swobodne εs(z)
Dariusz Sobala, dr inż.
(1.1)
Materiał dydaktyczny
ε s ( z) = α ( z) ⋅ T ( z)
gdzie εs(z) – odkształcenie swobodne włókna przekroju o współrzędnej z;
α(z) – współczynnik rozszerzalności termicznej włókna o współrzędnej z;
T(z) – temperatura włókna o współrzędnej z lub jej przyrost w stosunku do stanu
początkowego (rozkład temperatury po wysokości);
z – współrzędna (odległość) rozpatrywanego włókna od osi X w kierunku osi Z, która
zmienia się od wartości -z0 do Hz-z0;
Hz – wysokość przekroju wzdłuż osi Z (Rys. 1)
(1.2)
P( z ) = ε s ( z ) ⋅ E ( z )
gdzie E(z) – moduł sprężystości dla włókna przekroju o współrzędnej z;
P(z) – uogólniona zastępcza siła zewnętrzna przywracająca rzeczywisty
kształt/wymiary elementu i powodująca powstanie naprężeń w przekroju.
Część równomierną odkształcenia w przekroju (wydłużenie/skrócenie) można wyznaczyć z
zależności (1.3).
(1.3)
1
εu =
A
H z − z0
∫ T ( z )α ( z )b( z ) dz
− z0
gdzie εu – składowa równomierna odkształcenia na wysokości przekroju;
A – sprowadzone pole przekroju poprzecznego elementu;
b(z) – szerokość przekroju na poziomie z.
Z
εu
X
z0
Rys. 1. Składowa równomierna odkształcenie przekroju
Zachowanie zasady płaskich przekrojów Bernoulli’ego-Navier’a wymaga, aby przekrój płaski
po obciążeniu pozostał nadal płaski. Ten stan osiąga poprzez przesunięcie przekroju po osi
lub obrót przekroju wokół osi, np. osi poziomej Y. Krzywiznę (nachylenie) przekroju φy
można wyznaczyć na podstawie zależności (1.4) sformułowanej przez Priestley’a [Pristley,
1978]. Odkształcenia spowodowane obrotem są równe εφ (z)=φy⋅z.
(1.4)
1
φy =
Iy
H z − z0
∫ T ( z )α ( z )b( z ) z dz
− z0
gdzie Iy - sprowadzony moment bezwładności przekroju względem osi Y.
Dariusz Sobala, dr inż.
Materiał dydaktyczny
Z
X
z
z0
εφ(z)
φy z
Rys. 2. Obrót przekroju φy spowodowany liniowym rozkładem temperatury na wysokości przekroju
Odkształcenie całkowite przekroju składać się będzie z odkształcenia równomiernego oraz
odkształcenia wywołanego obrotem (1.5).
(1.5)
ε c ( z) = ε u + εφ ( z) = ε u + φ y ⋅ z
Z
εc(z)
X
z0
Rys. 3. Odkształcenia całkowite przekroju εc(z)
Zatem naprężenia termiczne, do których wyznaczenia ostatecznie dążymy, pochodzić będą od
odkształcenia wymuszonego (1.6), które stanowić będzie różnicę odkształcenia całkowitego i
swobodnego.
(1.6)
ε w ( z) = ε c ( z) − ε s ( z)
gdzie εw(z) – odkształcenie włókna o współrzędnej z wymuszone więzami wewnętrznymi
istniejącymi w przekroju
Dariusz Sobala, dr inż.
Materiał dydaktyczny
Z
X
z
εw(z)
Rys. 4.. Odkształcenia wymuszone w przekroju
(1.7)
σ T ( z) = E ( z) ⋅ ε w ( z)
gdzie σT(z) – naprężenie w przekroju na poziomie włókna z;
E(z) – moduł sprężystości włókna z przekroju.
Przemieszczenie punktu leżącego na osi przekroju można wyznaczyć z zależności (1.8).
(1.8)
ΔLx = ε u ( z ) ⋅ L =
ΔTu ⋅ L
⋅
A
H z − z0
∫α
T
( z ) ⋅ b( z ) dz
− z0
gdzie
Lx – odległość przekroju od podpory stałej mierzona wzdłuż osi X.
Dla dowolnego punktu przekroju należy wprowadzić korektę wartości przemieszczenia
wynikającą z obrotu przekroju w postaci (1.9).
(1.9)
ΔΔLx ( z ) = z ⋅ φ y ⋅ Lx =
ΔTu ⋅ Lx ⋅ z
⋅
Iy
H z − z0
∫α
z0
T
( z ) ⋅ b( z ) ⋅ z dz