status
Transkrypt
status
UBEZPIECZENIA GRUPOWE - status symetryczny a status łącznego życia i ostatniego przeżywającego AUTORZY: MICHAŁ BOCZEK MAŁGORZATA CZUPRYN Rozważmy grupę m – osób. Oczywiście m jest liczba naturalną większa od 1. Niech xi oznacza wiek i – tej osoby dla i=1,2,..m. Statusy grupy: • status łącznego życia • status ostatniego przeżywającego Podstawowe oznaczenia: • u - status przeżyciowy grupy, • T(u) - ZL opisującą przyszły czas trwania statusu, • K (u) T (u) - ZL opisującą całkowity przyszły czas trwania statusu, • tpu - prawdopodobieństwo, że grupa w chwili t jest w statusie u, • tqu - prawdopodobieństwo, że grupa straci status u przed chwilą t, • Fu(t) - dystrybuantę zmiennej losowej T(u), • su(t)=1- Fu(t) - ogon dystrybuanty zmiennej losowej T(u), • f u(t) • f u (t ) su' (t ) u (t ) - natężenie zgonów (śmiertelności) su (t ) su (t ) • T(xk) = Tk - gęstość zmiennej losowej T(u), Status łącznego życia u x1 : x2 : ... : xm Czas trwania łącznego życia wynosi: T (u) T1 T2 ... Tm min(Ti ; i 1,2,.., m) Twierdzenie 1: Jeżeli Tk są niezależnymi ZL, to: m t pu t px1:x2 :...:xm t pxk k 1 Twierdzenie 2: Jeżeli Tk są niezależnymi ZL, to: u (t ) x :x :...:x (t ) x (t ) ... x (,t ) 1 gdzie x (t ) i f xi (t ) s xi (t ) 2 m 1 m jest natężeniem zgonów dla życia (xi ). Status ostatniego przeżywającego u x1 : x 2 : ... : x m Czas trwania takiego statutu wynosi: T (u) T1 T2 ... Tm max( Ti ; i 1,2,..., m) W grupie dwóch osób w wieku (x) i (y), mamy następującą zależność: PT ( x) t T ( y) t PT ( x) t PT ( z) t PT ( x) t T ( y) t zatem t px: y t px t p y t px: y STATUSY SYMETRYCZNE Symbol k x 1 : x 2 : ... : x m oznacza, że żyje dokładnie k spośród pierwotnej grupy m osób. Zatem status ten rozpoczyna się dopiero z chwilą (m-k) - śmierci, a kończy się przy (m-k+1) – śmierci. Natomiast symbol: k x1 : x2 :...: xm oznacza, że żyje przynajmniej k – osób z pierwotnej grupy m osób. Status ten rozpoczyna się w chwili 0 i trwa do czasu (m-k+1) – śmierci. Powyższe dwa statusy nazywamy statusami symetrycznymi. SUMA SYMETRYCZNA Niech φ będzie symetryczną funkcją względem k zmiennych (tzn. φ(t1,…,tk)=φ(ti1,…,tik) dla dowolnej permutacji ti1,…,tik argumentów t1,…,tk ). Dla tak zdefiniowanej funkcji φ, warto wprowadzić pojęcie sumy symetrycznej danej wzorem: S k (i ,..., i ) 1 C ( m ,k ) k , gdzie C(m,k) oznacza sumowanie po k- elementowych podzbiorach indeksów 1,2,..,m. Niech (Ω, F, P) będzie pewną przestrzenią probabilistyczną oraz B j dla j=1,..,m nie będą wzajemnie rozłącznymi zdarzeniami. W szczególności dla (i1 ,..., ik ) P( Bi ,..., Bi ) mamy: 1 m S1 P( B S2 P( B j 1 j1 j2 Sk j1 j ) B j2 ) P( B j1 j2 ... jk W szczególnym przypadku, gdy: mamy: k j1 ... B jk ) (1) Bi T ( xi ) : T ( xi ) t, (i1 ,..., ik )t p x i1 : xi2 :...: xik Oraz odpowiadającą jej sumę symetryczną postaci: S kt t C ( m ,k ) p xi1 :xi2 :...:xik (2) Fakt 1: Dla dowolnej grupy m osób odpowiednio w wieku x1,x2,…,xm zachodzi zależność: t p x :x :...:x S1t S 2t S3t ... (1) m1 S mt 1 2 m t gdzie jest symetryczną sumą daną wzorem Sk t C ( m ,k ) , (3) pxi1:xi2 :...:xik . Składki dla statusu łącznego życia Au Ax1:x2 :...:xm v k 1k px1:x2 :...:xm q( x1:x2 :...:xm ) k k 0 u a x1:x2 :...:xm a k v k px1:x2 :...:xm k 0 Składki dla statusu ostatniego przeżywającego ax :x :...:x v k k p x :x :...:x S1a S 2a S 3a ... (1) m 1 S ma 1 2 m k o 1 2 m gdzie symetryczna suma jest postaci: S ka a x j 1:x j 2 :...:x jk C ( m ,k ) Ax :x :...:x S1A S 2A S 3A ... (1) m1 S mA 1 dla 2 m S kA A x j 1:x j 2:...:x jk C ( m ,k ) Operator różnicowy Niech m ~ C {(c0 , c1 ,..., cm ,0,0,..); c0 , c1 ,..., cm R} oraz Oznaczmy przez Δ operator różnicowy taki, że ~ : C R Zdefiniujmy k – ty element następująco: ck ck 1 ck W postaci tabelki zapiszmy ciąg kolejnych wyrazów operatora różnicowego oraz ich potęg (złożeń). Dodatkowo przyjmijmy, że: 0 ck c k k ck Δck Δ2ck … Δmck 0 c0 c1 -c0 Δc1 -Δc0 … Δm-1c1 -Δm-1c0 1 c1 c2 –c1 Δc2 -Δc1 … … 2 c2 c3 –c2 Δc3 -Δc2 … … ... … … … … … m-1 cm-1 cm –cm-1 … … … m cm -cm … … … m+1 0 0 … … … Zakładając, że B1 ,..., Bm oznaczają dowolne zdarzenia, nie wykluczające się wzajemnie oraz m N 1( Bk ) , gdzie 1(Bk) k 1 oznacza indykator zbioru Bk, dla k=1,..m. Przyjmujemy wielkość N jako zmienną losową o wartościach od 0 do m. Twierdzenie 3 (Schuette - Nesbitta): Dla dowolnych liczb rzeczywistych c0 , c1 ,..., c m prawdziwa jest równość: m m k 0 k 0 k c P ( N k ) ( k c0 ) S k gdzie Sk P( B j1 j 2 ... j k j1 ... B jk ) oraz (5) S0 0 Operator identycznościowy I Operator przesunięcia W W (c0 , c1 , c2 ,...) (c1 , c2 , c3 ,...) Operator różnicowy Δ W I W I , W ci I ci k k Dowód: Mamy: m m k 0 k 0 m 1( Bk ) k N N c 1 ( N k ) ( W c ) 1 ( N k ) W c ( I ) c0 ( I ) k 1 k 0 0 ( I )c 0 1( Bk ), k 0 ,1,...,m c0 m ( I 1( Bk ) )c0 k 0 Powyższa równość wynika wprost z własności potęgowania I 1( B1 ) c o I 1( B2 ) c o ... I 1( Bm ) c o 1( B1 ) 1( B2 ) ... 1( Bm ) k I 1( B2 ) 1( B3 ) ... 1( Bm ) k .. c o m ( k 0 k 1 ( B B ... B ) )c o . j0 j1 jk j0 j1 j 2 ... j k Jest to prawdziwe przy założeniu, że wewnętrzna suma dla k=0 jest równa 1. Przyłóżmy wartość oczekiwaną obustronnie. Z lewej otrzymamy: m m m E ck 1( N k ) ck E1( N k ) ck P( N k ) k 0 k 0 k 0 oraz z prawej strony: m m k E ( 1( B j1 ... B jk ) c0 ) E ( 1( B j1 ... B jk ) k c0 ) k 0 j1 j2 ... jk k 0 j1 j2 ... jk ( c0 ) E 1 B j1 ... B jk k 0 j1 j2 ... jk m k m k ( c0 ) S k k 0 Warto zauważyć, że otrzymaliśmy w ten sposób tezę twierdzenia. Z powyższego twierdzenia wynikają następujące równości: m m ck a k 0 k x1:x2 :...:xm m ( c0 ) S k k 0 a k m k 1 A d A ( d ) S x : x : ... : x k 12 m 1 k k k 0 k 0 k dla d j 1 j ck (6) (7) Przykład 1: Rozważmy grupę trzech postaci z bajek Disneya: Kaczora Donalda, Myszkę Miki oraz Goofy-ego. Załóżmy, że dziś mają one odpowiednio x=20lat , y=25lat i z=25 lat. Pewnego dnia poszli wykupić dla siebie rentę wypłacaną corocznie początkowo w wysokości 9 i zmniejszaną kolejną wraz z każdą śmiercią w grupie o 4 i 3. Przy założeniu, że życia tych postaci są wzajemnie niezależne wyznacz JSN. Załóżmy dodatkowo, że stopa procentowa w Disneylandzie jest równa i=5%, wymieralność jest dana wzorem lx=100-x, gdzie xЄ(0,100). Rozwiązanie: Kolejność zgonów nie jest istotna. JSN takiej renty jest więc kombinacją postaci: ( JSN ) 9 a [ 3] 5 a x: y:z [ 2] x: y:z 2 a [1 ] x: y:z W celu sprowadzenia (JSN) do składek dla statusu łącznego życia stosujemy wzór (6), czyli: m c k 0 k a k x1:x2 :...:xm m (k c0 ) S ka k 0 dla c0=0, c1=2, c2=5, c3=9. Tablica operatorów różnicowych ma postać: k 0 ck 0 Δck 2 Δ2ck 1 1 2 3 1 2 5 4 3 9 Δ3ck 0 S1a ax ay az ( JSN ) 2 S1a S2a gdzie S 2a ax: y ax:z az: y Wyliczmy poszczególne składniki powyższych sum: 79 ax a20 v k p 20 k k 0 79 1 80 k 79 1 1 k 1 19 , 576 377,628 14,856 k k k 80 80 80 ( 1 , 05 ) ( 1 , 05 ) ( 1 , 05 ) k 0 k 0 k 0 79 74 az ay a25 v k p 25 k k 0 74 1 80 k 74 1 k 14,851 k k k 80 ( 1 , 05 ) ( 1 , 05 ) 80 ( 1 , 05 ) k 0 k 0 k 0 74 oraz ax:z ax: y 1 80 k 75 k 74 1 6000 155k k 2 a20:25 v k p 20:25 v k p 20 k p 25 k k 80 75 k 0 (1,05) 6000 k 0 k 0 k 0 (1,05) 19,459 k 74 k 155 1 368,626 12112,318 11,955 6000 6000 1 5625 150k k 2 75 k 74 1 az: y a25:25 v k p 25:25 v k p 25 k p 25 k k 75 5625 ( 1 , 05 ) ( 1 , 05 ) k 0 k 0 k 0 k 0 150 1 19,459 368,626 12112,318 11,783 5625 5625 k 74 2 k Zatem: ( JSN ) 2 S1a S 2a 2 ax ay az ax: y ax:z az: y 2 14,856 14,851 14,851 11,955 11,783 112,854 Przykład 2: Rozpatrzmy ubezpieczenie grupowe dla 3 osób w wieku x=20 lat, y=z=25 lat. Kwota ubezpieczenia wypłacona przy śmierci pierwszej osoby wynosi 1, przy drugiej 3, przy trzeciej 5 (każda wypłata w momencie śmierci). Życie tych osób jest wzajemnie niezależne, intensywność wymierania pochodzi z rozkładu de Moivre’a z wiekiem granicznym 100 oraz δ=5%. Rozwiązanie: ( JSN ) A 3 3 A x: y:z 2 5 A x: y:z 1 x: y:z Stosujemy wzór (7): m m k 1 A d A ( d ) S x : x : ... : x k 12 m 1 k k k 0 k 0 dla d1=5, d2=3, d3=1. Tworzymy tablice operatorów różnicowych: k dk Δdk Δ2dk 1 5 -2 0 2 3 -2 3 1 Wobec powyższego: ( JSN ) 5 S1A 2 S 2A S1A A x A y A z , gdzie: S 2A A x: y A x: y A z: y Poniżej obliczymy poszczególne składniki tych sum: A x A 20 e t 80 t p x x (t )dt e 0,05t 0 0 75 0 0 1 dt 0,245 80 A y A z A 25 e t t p 25 25 (t )dt e 0,05t 1 dt 0,260 75 oraz A x:z A x: y A 20:25 e 0 75 e 0 , 05t t t p x: y x: y (t )dt e t t p x t p y x (t ) y (t ) dt 0 75 t p 25 t p 20 20 (t )dt e 0, 05t t p 20 t p 25 25 (t )dt 0 75 e 75 0 0 , 05t 0 0,386 1 75 t 1 80 t 155 2t dt e 0, 05t dt e 0, 05t dt e 0, 05t dt 80 75 75 80 6000 6000 0 0 0 75 75 75 oraz A y:z A 25:25 e t t p z: y z: y (t )dt e t t p z t p y z (t ) y (t ) dt 75 0 75 2 e 0 , 05t 0 75 t p 25 t p 25 25 (t )dt 2 e 0 0 , 05t 0 1 75 t 2 2t dt e 0,05t dt e 0, 05t dt 75 75 75 5625 0 0 75 75 0,394 Wobec powyższego ostatecznie mamy: ( JSN ) 5 S1A 2 S 2A 5 A x A y A z 2 A x: y A x: y A z: y 5 0,245 0,260 0,260 2 0,386 0,386 0,394 1,493 BIBLIOGRAFIA 1. Bartłomiej Błaszczyszyn, Tomasz Rolski, „Podstawy matematyki ubezpieczeń na życie”, WNT, Warszawa 2004; 2. Mariusz Skałba, „Ubezpieczenia na życie”, WNT, Warszawa 2003; DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ