Obliczanie pochodnych funkcji złożonych Pochodna potęgi Jeśli

Obliczanie pochodnych funkcji złożonych
Pochodna potęgi
Jeśli funkcja jest typu:
f = (coś)n
To jej pochodna jest pochodną funkcji złożonej:
f 0 = n · (coś)n−1 · (coś)0
Przykład 1:
f = (3x2 + 4x)3
Widać tu, że ta funkcja jest postaci:
(coś)3
więc jej pochodna:
f 0 = 3 · (3x2 + 4x)2 · (3x2 + 4x)0 = 3 · (3x2 + 4x)2 · (6x + 4)
Przykład 2:
f = cos5 (x)
f 0 = 5 · cos4 x · (cos x)0
Przykład 3:
f = (ln x)6
f 0 = 6 · (ln x)5 · (ln x)0
Pochodne funkcji trygonometrycznych i logarytmicznych
Jeśli mamy funkcję postaci:
f = funkcja(coś)
To jej pochodna:
f 0 = funkcja0 (coś) · (coś)0
Przykład 1:
f = cos(5x)
f 0 = − sin(5x) · (5x)0
Przykład 2:
f = ln(5x2 + 8x3 )
1
f0 = 2
· (5x2 + 8x3 )0
5x + 8x3
Przykład 3:
f = ln(sin(x))
1
f0 =
· (sin x)0
sin x
Przykład 4:
f = ln(cos(5x))
1
1
f0 =
· (cos(5x))0 =
· (− sin 5x) · (5x)0
cos(5x)
cos(5x)
Inne kombinacje funkcji złożonych
Przykład 1:
f = cos5 (5x)
f 0 = 5 · cos4 (5x) · (cos (5x))0 = 5 · cos4 (5x) · (− sin(5x)) · (5x)0
Przykład 2:
f = ln(cos5 (5x))
1
1
1
5
0
4
0
f0 =
·
(cos
(5x))
=
·
5
·
cos
(5x)(cos(5x))
=
· 5 · cos4 (5x) · (− sin(5x)) · (5x)0
5
5
5
cos (5x)
cos (5x)
cos (5x)