Problem nr 2 Petardy rzucane z balonu ho vb ts1− gts1 2 =0

Problem nr 2 Petardy rzucane z balonu
Załogo wznoszącego się pionowo balonu wyrzuca z niego petardy, które eksplodują w
zderzeniu z ziemią. Odstęp czasu między moemntami wyrzucenia kolejnych petard wynosi
T = 20s. Odgłos pierwszego wybuchu piloci figlarze usłyszeli po czasie t1 = 10s od
momentu wyrzucenia pierwszej petardy. Odgłos wybuchu drugiej petardy doszedł do nich
po t2 = 32s od momentu wyrzucenia pierwszej. Obliczyć wysokość balonu w momencie
wyrzucenia pierwszej petardy i szybkość jego wznoszenia, zakładając, że petardy
zachowują się jak ciężkie, metalowe kulki dla których opór powietrza można pominąć.
y(t)
h1
ho
ts1
t1
T
ts2
t2
t
Powyższy rysunek przedstawia wstępną analizę sytuacji, zaprezentowaną w postaci
wykresu zależności y(t) dla wszystkich obiektów występujących w zadaniu tzn. balonu i
dwóch rzuconych petard. Czerwone, paraboliczne krzywe dotyczą spadku petard,
niebieskie linie proste obrazują przemieszczanie się dźwięku od miejsca wybuchu do
gondoli balonu. Zakładamy, że piloci wypuszczają petardy z ręki bez prędkości
początkowej względem gondoli balonu, co oznacza, że w momencie wypuszczenia mają
one względem ziemi prędkość równą prędkości wznoszenia balonu Vb.
Oznaczmy moment upadku pierwszej petardy na ziemię jako ts1 . Jest to moment, w
którym współrzędna y(t) dla pierwszej petardy staje się równa zero. Dla rzutu pionowego
(przyspieszenie stałe i równe -g przy naszym wyborze układu odniesienia) wzór na
położenie petardy w funkcji czasu pozwala nam zapisać równanie:
g t 2s1
ho v b t s1−
=0
2
Czas uderzenia w ziemię ts1 i czas dotarcia odgłosu wybuchu do balonu t1 związane są
następującą relacją:
t s1=t 1 −
ho '
vd
ho ' =hov b t 1
gdzie ho ' jest wysokością balonu w momencie dotarcia do niego odgłosu wybuchu
pierwszej petardy, zaś v d jest prędkością dźwieku.
Po wstawieniu wartości
czasów t1 i ts1 :
ho ' do wzoru na ts1 otrzymujemy następującą relację dla
 
t s1= 1 −
vb
ho
t1 −
vd
vd
Na drodze analogicznego rozumowania jako czas spadku drugiej petardy otrzymujemy:
 
t s2−T = 1 −
vb
h
t 2 −T − 1
vd
vd
Podobnie jak dla pierwszej petardy jej moment upadku na ziemie spełnia równanie
wynikające z teorii rzutu poziomego:
g t s2 −T 2
h1 v b t s2−T −
=0
2
gdzie h1 jest wysokością balonu w momencie wyrzucenia drugiej petardy.
Dodatkowo wysokości h1 i h2 związane są następującą relacją:
h1 =ho v b T
Wstawienie tej relacji do poprzedniego równania i uwzględnienie równania ruchu
pierwszej petardy daje razem:
g t s2 −T 2
hov b t s2 −
=0
2
g t 2s1
hov b t s1−
=0
2
Po uwzględnieniu relacji między h1 a h0 równania na ts1 i ts2 przyjmują postać:
 
t s1= 1 −
vb
h
t1 − o
vd
vd
 
t s2 = 1 −
vb
h
t2 − o
vd
vd
Od tego momentu można rozważyć dwa warianty rozwiązania:
•
pełną, dokładną wersję rozwiązania, uzwględniającą fakt skończonej prędkości
sygnału dźwiękowego
•
rozwiązanie przybliżone, zastępujące dźwięk światłem, czyli nośnikiem informacji o
baaardzo dużej prędkości.
Na początek rozwiązanie przybliżone. Dla wersji która przyjmuje nieskończoną wartość
prędkości propagacji vd następuje utożsamienie czasów spadku i czasów dotarcia
sygnału, tzn.
t s1=t 1
t s2=t 2
W takiej sytuacji otrzymane powyżej rónania przyjmują postać:
g t 12
hov b t 1 −
=0
2
g t 2 −T 2
hov b t 2 −
=0
2
Odjęcie tych równań od siebie i wyliczenie vb daje:
2
2
g t 2 −T  −t 1
v b=
=10 m/ s
2
t 2 −t 1 
Wstawienie tej wartości do równania ruchu dla pierwszej petardy daje od razu:
[
]
g t1
t 2 −T 2 −t 12
ho=
t1 −
=400 m
2
t 2 −t 1 
Teraz czas na podejście do rozwiązania pełnego. Relacje między czasami spadku a
czasami dotarcia sygnału można zapisać następująco:
t s1=t 1 −
t1
h
v b− o
vd
vd
t s2=t 2 −
t2
h
v b− o
vd
vd
C.D.N
© L.Pytlik