Metody Probabilistyczne w Zarz ąadzaniu (projekt)

Metody Probabilistyczne w Zarzadzaniu
˛
(projekt)
Dany jest (liniowy, dyskretny, stacjonarny) asymptotycznie stabilny system dynamiczny
opisany równaniem
yn + a1 yn−1 + · · · + ar yn−r = b0 xn + b1 xn−1 + · · · + bs xn−s
lub równoważnie
yn + A(q−1 )yn = b0 xn + B(q −1 )xn
gdzie
A(q−1 ) = a1 q −1 + a2 q−2 + · · · + ar q −r
B(q−1 ) = b1 q −1 + b2 q−2 + · · · + bs q−s
(dobór współczynników {ai }ri=1 , {bj }sj=0 oraz rzedów
˛
r, s należy do projektanta), pobudzany
sygnałem
xn = un + zn ;
n = . . . − 1, 0, 1, . . .
un = u · 1(n) ;
n = . . . − 1, 0, 1, . . .
gdzie
natomiast {zn , n = . . . − 1, 0, 1, . . . } jest sygnałem (zakłóceniem) losowym typu i.i.d. (stacjonarnym białym szumem) o rozkładzie równomiernym U[−c, c] albo rozkładzie normalnym N(0, σ z ) (dobór parametrów c oraz σ z należy do projektanta), lub też zn = 0 (przypadek bez zakłóceń). Istnieje wyłacznie
˛
możliwość pomiaru sygnału (wyjściowego) {yn } .
1. Zakładajac
˛ zn = 0, n = . . . − 1, 0, 1, . . . wyznaczyć analitycznie odpowiedź systemu na
pobudzenie {xn } dla przypadków
(i) A(q −1 ) = 0 (system MA(s)),
(ii) B(q −1 ) = 0 (system AR(r)),
(iii) A(q −1 ), B(q−1 ) 6= 0 (system ARMA(r, s))
Przeprowadzić symulacje˛ komputerowa˛ oraz wizualizacje˛ odpowiedzi {yn } dla różnych
wartości amplitudy u. Skomentować otrzymane wyniki.
2. Zakładajac,
˛ że zn 6= 0 przeprowadzić komputerowa˛ symulacje˛ oraz dokonać wizualizacji
sygnału wyjściowego {yn } w stanie ustalonym dla przypadków (i) − (iii) oraz
a) zn ∼ U[−c, c]
b) zn ∼ N(0, σ z )
Wykorzystać do tego celu gotowe generatory liczb pseudolosowych, a swobodne parametry
w zadaniu dobrać według własnego projektu. Dla każdego z powyższych przypadków wyznaczyć analitycznie funkcj˛e autokorelacji wyjścia Ryy (τ ) oraz jej empiryczne oszacowanie
byy (τ ), wykorzystujac
˛ pomiary wyjścia {yn }N
R
n=1 . Przedyskutować jakość otrzymanych oszacowań. Badania przeprowadzić dla różnych wartości u. Skomentować otrzymane rezultaty.
3. Zakładajac
˛ u = 0 (tj. xn = zn ) oraz znajomość wariancji σ 2z sygnału (zakłócajacego)
˛
s
{zn } zaprojektować algorytm identyfikacji współczynników {bj }j=0 systemu MA(s) (przybyy (τ ) funkcji autokorelacji wyjścia Ryy (τ ), przyjmupadek (i)) na podstawie oszacowań R
jac
˛ że b0 6= 0. Przeprowadzić eksperymentalne badanie algorytmu dla zn ∼ U[−c, c],
zn ∼ N(0, σ z ) oraz różnych parametrów zadania.
Literatura
[1] R. Wieczorkowski, R. Zieliński, Komputerowe generatory liczb losowych, WNT, Warszawa
1997.
[2] L. Gajek, M. Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne - modele i metody, WNT, Warszawa
1994.
[3] G. Box, G. Jenkins, Analiza szeregów czasowych, PWN, Warszawa 1983.