W(a, x)
Transkrypt
W(a, x)
Modelowanie matematyczne dr inż. Zbigniew Tarapata Wykład nr 4: Modele w warunkach rozmytości, nieokreśloności i symulacyjne Założenie: W(a, x) – jednoelementowy zbiór wskaźników w ∈ W(a, x) Przypadek, gdy w ∈ W(a, x) jest zbiorem rozmytym: Podejście wg Bellmana, Zadeha D D D ( ) , a , A Ω Y (a ) – nierozmyte zbiory wartości danych, zmiennych decyzyjnych i wskaźników; Ω(a ), Y(a ) – rozmyte zbiory wartości zmiennych decyzyjnych i wskaźników; Mechanizm realizacji decyzji nierozmytej: o o ha : Ω ( a ) → Y ( a ) Wskaźnik liczbowy (funkcja przynależności do przecięcia zbiorów rozmytych zmiennych decyzyjnych i wskaźników): µ (x *) = max min{g a ( x ), f a (h( x ))} o x∈Ω ( a ) gdzie: ga, fa - funkcje przynależności elementów do zbiorów Ω(a), Y(a). PRZYKŁAD: Spośród mało licznych grup pracowników chcemy wybrać grupę dużej wydajności. D D Ω (a ) = {1,2,3,4}, Y (a ) = {7,12,15,30} Nr grupy 1 2 3 4 Niech zbiór rozmyty „małych Liczność 1 3 2 5 liczności grup” ma postać: Wydajność ha 30 15 12 7 9 1 1 1 / 1, 2 / 1, 3 / , 4 / , 5 / 10 2 7 a zbiór rozmyty „dużych wydajności”: 1 1 7 / 0, 12 / 0, 15 / , 30 / . 8 3 Stąd rozmyty 1 2 3 4 Przypadek, gdy W ∈ zbiór W(a, x)Ω(a) jest dopuszczalnych decyzji jest 1 9/10 1 1/7 zbiorem liczbowym: następujący: 30 15 12 7 x ga (x) ha (x) fa (ha (x)) 1/3 1/8 µ(x) 1/3 1/8 0 0 0 0 9 1 1 / 1, 2 / , 3 / 1, 4 / 10 7 1 Modelowanie matematyczne dr inż. Zbigniew Tarapata Wykład nr 4: Modele w warunkach rozmytości, nieokreśloności i symulacyjne Przypadek, gdy w ∈ W(a, x) jest zbiorem liczbowym: kryterium pesymisty (Walda): 1 gdy max min W (a, x ) x∈Ω ( a ) Ea W = 0 w p.p. ( ) Decyzja: nie uczyć się bo: max {min{10,-10}; min{-5,0}} = = max{-10, -5}= -5 odpowiada decyzji nr 2 sytuacja nie zapyta decyzja zapyta 1. uczyć się 10 -10 2. nie uczyć -5 0 się kryterium optymisty: 1 gdy max W = max max W (a, x ) x ∈ Ω a Ea W = 0 w p.p. ( ) Decyzja: uczyć się, bo: max {max{10, -10} , max{-5, 0}} = max {10, 0} = 10 odpowiada decyzji nr 1 kryterium Hurwicza: α – współczynnik optymizmu 1 gdy α max W + (1 − α ) min W = E a W = = max [α max W (a, x ) + (1 − α ) min W (a, x )] x∈Ω(a ) 0 w p.p. ( ) Można pokazać, że dla danych z powyższej tabeli: 1 3 nie uczyć się < α qr = < uczyć się 2 Modelowanie matematyczne dr inż. Zbigniew Tarapata Wykład nr 4: Modele w warunkach rozmytości, nieokreśloności i symulacyjne kryterium żalu (Savage’a) w ( x, a, b ) sytuacja dane wskaźnik decyzja Rozumowanie decydenta: Gdybym znał b, to podjąłbym decyzję x*, taką że: ( ) w x * , a, b = max w( x, a, b ) x ∈ Ω( a ) ale ponieważ nie znałem b i podjąłem decyzję x, więc mój „żal” z tego powodu wynosi: w s ( x, a, b ) = w x * , a, b − w( x, a, b ) s Dla w stosuje się kryterium pesymisty. -10 10 10 0 0 -5 15 0 Ponieważ interesuje nas to, aby żal był jak najmniejszy, więc naszą decyzją będzie decyzja nr 1, tzn. uczyć się, bo max {0, 10} < max {15, 0}. 3 Modelowanie matematyczne dr inż. Zbigniew Tarapata Wykład nr 4: Modele w warunkach rozmytości, nieokreśloności i symulacyjne PRZYKŁAD Podejmujemy decyzję, czy iść do kina, teatru, czy muzeum. Możemy trafić na dobry film lub spektakl, albo też słaby. Nie wiemy tylko, czy muzeum jest otwarte. Muzeum otwarte dobry słaby Film 20 4 Spektakl 13 10 Wystawa 12 12 max 20 12 Muzeum zamknięte dobry słaby Film 20 4 Spektakl 13 10 Wystawa 0 0 max 20 10 „Żal” odpowiadający tabelki: 0 7 20 6 0 10 powyższym sytuacjom max Jeżeli muzeum jest zamknięte, 6 to idziemy do kina, w p.p. – do teatru ?!!!! 7 20 przedstawiają 0 7 8 8 2 0 max 8 7 8 4 Modelowanie matematyczne dr inż. Zbigniew Tarapata Wykład nr 4: Modele w warunkach rozmytości, nieokreśloności i symulacyjne MODELE SYMULACYJNE „pozwalają na drodze opisów matematycznych „naśladować” zachowanie się obiektu obserwowanego z punktu widzenia określonego problemu” są to modele badawcze z czasem, w którym zbiór zmiennych X (tzw. opisowych) dzieli się na 3 rozłączne podzbiory: • zmiennych wejściowych (ich wartości są ustalone niezależnie od zachowania się obiektu rzeczywistego); Xwe; • zmiennych stanu (ich wartości opisują wybrane cechy obiektu zmieniające się w czasie); Xst, Xwy; • podzbiór jednoelementowy opisujący czas: D X = X we ∪ X st ∪ { t, T } X we ∩ X st = ∅ X wy ⊂ X st Zbiory dopuszczalnych zmiennych wejściowych zmiennych wyjściowych zestawów wartości, odpowiednio: X we , zmiennych stanu X st oraz X wy , mogą być funkcjami czasu D określonymi w zbiorze R . W modelach symulacyjnych definiuje się dwie funkcje: • przejścia stanu δ, • wyjściową λ. δ : Xst × XWe ×T ×T → Xst ×T Wartość δ(x, y, t, h) jest zestawem wartości zmiennych stanu chwili t+h. λ : Xst × Xwe ×T → Xwy ×T Wartość λ(x, y, t) jest zestawem wartości zmiennych wyjściowych w chwili t. 5