Relacje

Relacje
A. Mróz
1. Narysuj diagram relacji R ⊆ X × X , gdy
(a)
X = {a, b},
(b) X = {a, b, c},
(c)
X = {a, b, c},
R = {(a, a), (b, b), (a, b)};
R = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a)};
R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (b, c)};
(d) X = N,
x R y ⇔ x < y;
(e)
x R y ⇔ x ≤ y.
X = N,
2. Zbadaj wªasno±ci relacji z zadania 1 (tj. czy s¡ zwrotne, przechodnie itp.)
3. Jakie wªasno±ci ma diagram relacji zwrotnej, przeciwzwrotnej, symetrycznej, antysymetrycznej,
spójnej?
4. Podaj przykªad relacji, która:
(a) jest zwrotna, symetryczna i nie jest przechodnia;
(b) jest zwrotna, sªabo antysymetryczna i nie jest przechodnia;
(c) jest symetryczna, przechodnia i nie jest zwrotna;
(d) jest sªabo antysymetryczna, przechodnia i nie jest zwrotna.
5. Zbadaj wªasno±ci relacji R ⊆ X × X (tj. czy jest zwrotna, przechodnia itp.), gdy:
(a)
X = N,
(b) X = N,
x R y ⇔ x| y;
x R y ⇔ 2| (x − y);
X = R,
x R y ⇔ x + y = 1;
(d) X = R,
x R y ⇔ x − y ∈ Z;
(c)
(e)
X = R2 ,
(x, y) R (x0 , y 0 ) ⇔ x = x0 ;
(f)
X = R2 ,
(x, y) R (x0 , y 0 ) ⇔ x = y 0 ;
(g)
X = 2N ,
A R B ⇔ A ⊆ B;
(h) X = 2N ,
A R B ⇔ A ∩ B 6= ∅;
(i)
X = R,
x R y ⇔ xy > 0;
(j)
X = R,
x R y ⇔ x2 = y 2 ;
(k)
(l)
X = N2 ,
(x, y) R (s, t) ⇔ x + t = s + y;
X = M2 (R), A R B ⇔ det(A) = det(B).
6. Niech X b¦dzie zbiorem wszystkich prostych na pªaszczy¹nie. Zbadaj wªasno±ci relacji R ⊆ X × X ,
gdy
(a) R jest relacj¡ równolegªo±ci prostych;
(b) R jest relacj¡ prostopadªo±ci prostych.
7. Sprawd¹, czy poni»sze relacje s¡ funkcjami.
(a) R = {(a, a), (a, b), (b, a)} ⊆ {a, b} × {a, b};
(b) R = {(a, a), (b, a), (c, b)} ⊆ {a, b, c} × {a, b};
(c) R = {(x, y) : xy = 1} ⊆ R × R;
(d) R = {(x, y) : x2 = y 2 } ⊆ R × R;
(e) R = {(x, y) : x2 = y 2 } ⊆ R+ × R+ ;
(f) R = {(x, y) : x2 + y 2 = 1} ⊆ R × R.
8. Uzasadnij, »e jedyn¡ zwrotn¡, symetryczn¡ i sªabo antysymetryczn¡ niepust¡ relacj¡ na zbiorze
niepustym jest relacja równo±ci.
9. Wska» w±ród relacji z zada« 1 i 5 relacje cz¦±ciowego porz¡dku. Które z nich s¡ porz¡dkami
liniowymi?
10. Rozwa»my zbiór {n ∈ N : 5 ≤ n ≤ 15} cz¦±ciowo uporz¡dkowany relacj¡ podzielno±ci. Narysuj
diagram Hassego dla tego porz¡dku i wska» (o ile istniej¡) elementy najmniejsze, najwi¦ksze, minimalne, maksymalne oraz ªa«cuchy. Zrób to samo dla zbioru {2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} (równie»
z relacj¡ podzielno±ci).
11. Opisz elementy minimalne w zbiorze {n ∈ N : n ≥ 2} uporz¡dkowanym relacj¡ podzielno±ci.
Czy istniej¡ w nim elementy maksymalne, najmniejsze, najwi¦ksze? Opisz elementy minimalne
i ªa«cuchy w tym zbiorze.
12. Na zbiorze X = R2 rozwa»my relacj¦ deniowan¡ nast¦puj¡co:
∀(x,y),(x0 ,y0 )∈R2 (x, y) (x0 , y 0 ) ⇔ x ≤ x0 ∧ y ≤ y 0 .
Wyka», »e jest to relacja porz¡dku. Czy jest to porz¡dek liniowy?
13. Wska» przykªad (o ile istnieje!) zbioru cz¦±ciowo uporz¡dkowanego, który:
(a) posiada czteroelementowy ªa«cuch, dwa elementy maksymalne i jeden najmniejszy;
(b) posiada dwa elementy minimalne i jest relacj¡ spójn¡;
(c) posiada dokªadnie jeden element minimalny i »adnego elementu najmniejszego.
14. W±ród poni»szych liniowych porz¡dków wska» porz¡dki dobre, g¦ste, ci¡gªe.
(a) (N, ≤);
(b) (Z, ≤);
(c) (Q, ≤);
(d) (R, ≤);
(e) ({ n1 : n ∈ N}, ≤);
(f) ({− n1 : n ∈ N}, ≤).
15. W±ród relacji z zada« 5,6 i 7 wska» relacje równowa»no±ci i opisz ich zbiory ilorazowe.
16. Rozwa»my na zbiorze R relacj¦ ∼ deniowan¡ nast¦puj¡co
∀x,y∈R x ∼ y ⇔ |x| = |y|.
(a) Wyka», »e jest to relacja równowa»no±ci i opisz zbiór ilorazowy R/ ∼.
(b) Sprawd¹, czy poni»sze przyporz¡dkowania s¡ dobrze okre±lone:
• f : R/ ∼ → R,
f ([x]) = x3 ;
• f : R/ ∼ → R,
f ([x]) = x2 ;
• f : R/ ∼ → R/ ∼, f ([x]) = [x3 ];
• f : R/ ∼ → R/ ∼, f ([x]) = [x − 2].
17. Rozwa»my na zbiorze N relacj¦ ∼ deniowan¡ nast¦puj¡co
∀n,m∈N n ∼ m ⇔ 3| (n − m).
(a) Wyka», »e jest to relacja równowa»no±ci i opisz zbiór ilorazowy N/ ∼.
(b) Sprawd¹, czy poni»sze przyporz¡dkowania s¡ dobrze okre±lone:
• f : N/ ∼ → N,
f ([n]) = n mod 3;
• f : N/ ∼ → N,
f ([n]) = n;
• f : N/ ∼ → N/ ∼, f ([n]) = [n2 ];
• f : N/ ∼ → N/ ∼, f ([n]) = [n div 3].