Pochodna funkcji - Katedra Matematyki, Politechnika Białostocka

Transkrypt

Pochodna funkcji
Pochodna funkcji w punkcie.
Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone.
Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Małgorzata Wyrwas
Katedra Matematyki
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
Budownictwo, sem. I, rok. akad. 2008/2009
Pochodna funkcji – str. 1/57
Iloraz różnicowy
Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f b˛edzie określona przynajmniej
na przedziale (x0 − r, x0 + r), gdzie r > 0.
Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0 odpowiadajacym
˛
przyrostowi h, gdzie 0 < |h| < r, nazywamy liczb˛e
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego
Iloraz różnicowy jest równy tangensowi kata
˛ nachylenia siecznej
przechodzacej
˛ przez punkty (x0 , f (x0 )) oraz (x0 + h, f (x0 + h))
do dodatniej półosi Ox.
y
y = f (x)
f (x0 + h)
∆f = f (x0 + h) − f (x0 )
α
f (x0 )
∆f
tg α =
∆x
∆x = h
x0
x0 + h
x
Pochodna funkcji w punkcie
Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f b˛edzie określona przynajmniej
na przedziale (x0 − r, x0 + r), gdzie r > 0.
Jeżeli istnieje skończona granica
f (x0 + h) − f (x0 )
.
lim
h→0
h
to nazywamy ja˛ pochodna˛ funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy
f 0 (x0 ) .
Mówimy wtedy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 .
Jeżeli granica ilorazu różnicowego w punkcie x0 nie istnieje lub jest
nieskończona, to mówimy, że funkcja f nie jest różniczkowalna w
punkcie x0 .
Pochodna funkcji w punkcie
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 ) = lim
h→0
h
def
0
m
f (x) − f (x0 )
f (x0 ) = x→x
lim
0
x − x0
def
0
Przykład: Niech f (x) = x2 . Wtedy
0
def
(x0 +h)2 −x20
lim
h
h→0
0
def
x2 −x20
lim
x→x0 x−x0
f (x0 ) =
f (x0 ) =
=
2x0 h+h2
lim
h
h→0
= x→x
lim
0
= 2x0 lub
(x−x0 )·(x+x0 )
x−x0
= 2x0
Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych
(c)0 = 0 , gdzie c ∈ R.
(xp )0 = pxp−1 , dla p ∈ R, zakres zmienności x zależy od p.
1
x
!0
1
= − 2 , x ∈ R \ {0}.
x
√ 0
1
x = √ , x ∈ R+ .
2 x
(sin x)0 = cos x , x ∈ R.
(cos x)0 = − sin x , x ∈ R.
Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych
π
1
, x 6= + kπ, k ∈ Z.
(tg x) =
2
cos x
2
0
1
(ctg x) = − 2 , x 6= kπ, k ∈ Z.
sin x
0
(ax )0 = ax ln a , a > 0, x ∈ R.
(ex )0 = ex , x ∈ R.
1
, x > 0 i 0 < a 6= 1.
(loga x) =
x ln a
0
1
(ln x) = , x > 0.
x
0
Prosta styczna do wykresu funkcji
Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja ciagła
˛ f b˛edzie określona
przynajmniej na przedziale (x0 − r, x0 + r), gdzie r > 0.
Prosta jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )),
jeżeli jest granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji
przechodzacych
˛
przez punkty (x0 , f (x0 )) i (x, f (x)), gdy x → x0 .
y
y = f (x)
f (x)
sieczne
styczna
f (x0 )
x0 ←−
x
x
Interpretacja geometryczna pochodnej
Pochodna funkcji w punkcie x0 jest równa tangensowi kata
˛
nachylenia stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 ))
do dodatniej półosi Ox.
y
y = f (x)
styczna
f (x0 )
tg α = f 0 (x0 )
α
x0
x
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )):
y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) .
Przykład
Niech f (x) = ex . Wówczas równanie stycznej do wykresu funkcji
f w x0 = 0 ma postać: y = x + 1 .
y
y = ex
y =x+1
(0, 1)
x
Przykład
Niech f (x) = sin x. Wówczas równanie stycznej do wykresu
funkcji f w x0 = π ma postać: y = π − x .
1
−π
y
y = sin x
π
-1
2π
3π
4π
x
y =π−x
Pochodna funkcji na przedziale
Funkcja ma pochodna˛ na przedziale I otwartym wtedy i tylko
wtedy, gdy ma pochodna˛ w każdym punkcie tego przedziału.
Funkcj˛e określona˛ na przedziale I, której wartości w punktach x
tego przedziału sa równe f 0 (x) nazywamy
pochodna˛ funkcji f na przedziale I i oznaczamy symbolem f 0 .
f 0 : x 7→ f 0 (x) ,
x ∈ I.
Działania arytmetyczne na pochodnych funkcji
Jeżeli funkcje f i g sa różniczkowalne w punkcie x0 , to:
(f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ) .
(f − g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) − g 0 (x0 ) .
(f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 ) .
f
g
!0
f 0 (x0 ) · g(x0 ) − f (x0 ) · g 0 (x0 )
, o ile g(x0 ) 6= 0.
(x0 ) =
2
g (x0 )
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 , zaś c ∈ R, to
(cf )0 (x0 ) = cf 0 (x0 ) .
Przykład
1 √
1
1
0
3
f (x) = x + 3x − + x ⇒ f (x) = 4x + 6x + 2 + √
x
x
2 x
4
2
g(x) = sin x · ctg x , x 6= kπ, k ∈ Z, ⇒
1
1
0
g (x) = cos x ctg x + sin x − 2
= cos x ctg x −
sin x
sin x
x2 − 1
h(x) = 2
, x ∈ R, ⇒
x +1
2
2
2x
·
(x
4x
+
1)
−
(x
− 1) · 2x
0
h (x) =
= 2
2
2
(x + 1)
(x + 1)2
Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz funkcja g
jest różniczkowalna w punkcie f (x0 ), to funkcja g ◦ f jest
różniczkowalna w punkcie x0 oraz
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 ) .
Przykład:
f (x) = sin3 x ⇒ f 0 (x) = 3 sin2 x · cos x
g(x) = (3x2 + x + 2)5 , ⇒ g 0 (x) = 5(3x2 + x + 2)4 · (6x + 1)
Postać logarytmiczno–wykładnicza funkcji
Każda˛ funkcj˛e złożona˛ postaci [f (x)]g(x) można przedstawić w
postaci logarytmiczno–wykładniczej:
[f (x)]g(x) = eg(x)·ln f (x) .
Postać logarytmiczno–wykładnicza˛ stosujemy do obliczania
pochodnych funkcji danych w postaci [f (x)]g(x) .
Przykład:
f (x) = xx = ex ln x ⇒
f 0 (x) = ex ln x · (ln x + x · x1 ) = xx · (ln x + 1)
Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej
Niech x0 ∈ Df . Niech f b˛edzie funkcja˛ ciagł
˛ a˛ i różnowartościowa˛
w otoczeniu punktu x0 oraz taka,˛ że f 0 (x0 ) 6= 0. Wówczas
f
−1 0
1
,
(y0 ) = 0
f (x0 )
gdzie y0 = f (x0 ).
Pochodne funkcji cyklometrycznych
1
(arc sin x) = √
, x ∈ (−1, 1).
2
1−x
0
1
(arc cos x) = − √
, x ∈ (−1, 1).
2
1−x
0
1
(arc tg x) =
, x ∈ R.
2
1+x
0
1
(arc ctg x) = −
, x ∈ R.
2
1+x
0
Różniczka funkcji
Niech funkcja f b˛edzie określona na otoczeniu punktu x0 .
Ponadto niech funkcja f ma pochodna˛ właściwa˛ (jest
różniczkowalna) w punkcie x0 .
Różniczka˛ funkcji f w punkcie x0 nazywamy funkcj˛e zmiennych
∆x określona˛ wzorem:
def
df (x0 )(∆x) = f 0 (x0 ) · ∆x .
Różniczk˛e funkcji f oznacza si˛e także przez df (x0 ) lub krótko df .
Różniczka i obliczenia przybliżone
Niech funkcja f b˛edzie różniczkowalna w punkcie x0 . Wtedy
f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 ) · ∆x ,
przy czym bład
˛ jaki popełniamy zast˛epujac
˛ przyrost funkcji ∆f
jej różniczka˛ df = f 0 (x)∆x da˛ży szybciej do zera niż ∆x, tzn.
∆f − df
=0.
lim
∆x→0
∆x
Różniczka i obliczenia przybliżone
y
y = f (x)
∆f
df
f (x0 )
∆x
x0
x
Przykład
Wykorzystujac
˛ różniczk˛e obliczymy wartość przybliżona˛
√
wyrażenia 15,96 .
√
Definiujemy funkcj˛e f (x) = x .
Przyjmujemy x0 = 16 ⇒ ∆x = −0,04.
1
df
0
Ponieważ
= f (x) = √ ,wi˛ec
dx
2 x
√
√
15,96 ≈ 16 + 2√116 · (−0,04) = 3,995 .
Zastosowanie różniczki funkcji do szacowania bł˛edów pomiarów
Niech wielkości fizyczne x i y b˛eda˛ zwiazane
˛
zależnościa˛
y = f (x). Ponadto niech ∆x oznacza bład
˛ bezwzgl˛edny pomiaru
wielkości x. Wtedy bład
˛ bezwzgl˛edny ∆y obliczeń wielkości y
wyraża si˛e wzorem przybliżonym
∆y ≈ |f 0 (x0 )| ∆x ,
gdzie x0 jest wynikiem pomiaru wielkości x, przy czym f 0 (x0 )
jest właściwa.
Przykład
Czas w biegu na 100 m mierzy si˛e z dokładnościa˛ ∆t = 0,01 s.
Zawodnik uzyskał 10 s. Z jaka˛ w przybliżeniu dokładnościa˛
można obliczyć pr˛edkość V tego zawodnika?
100
100
0
, wi˛ec V (t) = − 2 , wi˛ec
Ponieważ V =
t
t
∆V ≈ |V 0 (10)| · ∆t =
100 −
· 0,01
102 m
= 0,01
.
s
Zwiazek
˛
różniczkowalności z ciagłości
˛
a˛ funkcji
Twierdzenie: Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 ,
to jest w tym punkcie ciagła.
˛
Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Na przykład funkcja f (x) = |x| jest ciagła
˛ w punkcie x0 = 0, ale
f 0 (0) nie istnieje.
y
2
-4
-2
y = |x|
2
x
Zwiazek
˛
różniczkowalności z monotonicznościa˛ funkcji
Twierdzenie: Niech I oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla
każdego x ∈ I funkcja f spełnia warunek:
f 0 (x) = 0, to funkcja f jest stała na I;
f 0 (x) > 0, to funkcja f jest rosnaca
˛ na I;
f 0 (x) > 0, to funkcja f jest niemalejaca
˛ na I;
f 0 (x) < 0, to funkcja f jest malejaca
˛ na I;
f 0 (x) 6 0, to funkcja f jest nierosnaca
˛ na I.
Pochodne wyższych rz˛edów
Pochodne n-tego rz˛edu funkcji f w punkcie x0 definiujemy
indukcyjnie
0
f (n) (x0 ) = f (n−1) (x0 ) ,
dla n > 1.
Przyjmujemy, że f (0) (x0 ) = f (x0 ) i f (1) (x0 ) = f 0 (x0 ).
Piszemy:
f (2) = f 00 , f (3) = f 000 , f (4) = f IV
lub
f (1) = f˙, f (2) = f¨
lub
n
d
f
(n)
f = n.
dx
Definicja minimum funkcji
Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df minimum lokalne, jeżeli
_
^
f (x) > f (x0 ) .
δ>0 x∈S(x0 ,δ)
Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df minimum lokalne właściwe,
jeżeli
_
^
f (x) > f (x0 ) .
δ>0 x∈S(x0 ,δ)
Definicja maksimum funkcji
Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df maksimum lokalne, jeżeli
_
^
f (x) 6 f (x0 ) .
δ>0 x∈S(x0 ,δ)
Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df maksimum lokalne właściwe,
jeżeli
_
^
f (x) < f (x0 ) .
δ>0 x∈S(x0 ,δ)
Ekstrema funkcji
Minima i maksima lokalne nazywamy
EKSTREMAMI
LOKALNYMI.
Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej
Twierdzenie (Fermata): Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w
punkcie x0 oraz posiada ekstremum lokalne w tym punkcie, to
f 0 (x0 ) = 0 .
Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Na przykład dla funkcji f (x) = x3 mamy f 0 (0) = 0, a f nie ma
ekstremum w punkcie x0 = 0.
y
y = x3
x
Warunek dostateczny istnienia maksimum funkcji różniczkowalnej
Twierdzenie: Niech x0 ∈ R i f b˛edzie funkcja˛ określona˛
przynajmniej w otoczeniu punktu x0 , ciagła
˛ w punkcie x0 i
różniczkowalna przynajmniej w sasiedztwie
˛
punktu x0 . Jeżeli
istnieje δ > 0 takie, że
^
x∈(x0 −δ,x0 )
f (x) > 0 oraz
0
^
f 0 (x) < 0
x∈(x0 ,x0 +δ)
to w punkcie x0 funkcja f ma maksimum lokalne właściwe.
Warunek dostateczny istnienia minimum funkcji różniczkowalnej
przynajmniej w otoczeniu punktu x0 , ciagł
˛ a˛ w punkcie x0 i
różniczkowalna˛ przynajmniej w sasiedztwie
˛
punktu x0 . Jeżeli
^
x∈(x0 −δ,x0 )
f (x) < 0 oraz
0
^
f 0 (x) > 0
x∈(x0 ,x0 +δ)
to w punkcie x0 funkcja f ma minimum lokalne właściwe.
II warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej
przynajmniej w otoczeniu punktu x0 . Jeżeli
① f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0 ,
② f (n) (x0 ) 6= 0 ,
˛ w punkcie x0
to, gdy n > 2 jest parzyste , funkcja f osiaga
ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to minimum, gdy
f (n) (x0 ) > 0, zaś maksimum gdy f (n) (x0 ) < 0. Gdy n jest
nieparzyste, ekstremum nie wyst˛epuje.
Minimum globalne
Liczba m jest najmniejsza˛ wartościa˛ funkcji f
na zbiorze A ⊆ Df , jeżeli istnieje punkt x0 ∈ A, taki że
f (x0 ) = m
i dla każdego x ∈ A
f (x) > f (x0 ) = m .
Liczb˛e m nazywamy
minimum globalnym funkcji f na zbiorze A.
Maksimum globalne
Liczba M jest najwi˛eksza˛ wartościa˛ funkcji f
na zbiorze A ⊆ Df , jeżeli istnieje punkt x0 ∈ A, taki że
f (x0 ) = M
i dla każdego x ∈ A
f (x) 6 f (x0 ) = M .
Liczb˛e M nazywamy
maksimum globalnym funkcji f na zbiorze A.
Ekstrema globalne
Minimum i maksimum globalne nazywamy
EKSTREMAMI
GLOBALNYMI.
Ekstrema globalne
Niech A = ha, bi ⊆ R i f : A → R. Niech f ma pochodna˛
właściwa˛ lub niewłaściwa˛ poza skończona˛ liczba˛ punktów
przedziału A. Ponadto niech f ma skończona˛ liczb˛e punktów
krytycznych, tzn. punktów xk , w których f 0 (xk ) = 0 lub f 0 (xk )
nie istnieje.
Jeżeli f jest funkcja˛ ciagł
˛ a˛ na domkni˛etym i ograniczonym
zbiorze A, to funkcja f osiaga
˛ na A wartość najmniejsza˛ i
najwi˛eksza.˛
Algorytm znajdowania ekstremów globalnych funkcji
Niech A = ha, bi ⊆ R i f : A → R. Niech f ma pochodna˛
właściwa˛ lub niewłaściwa˛ poza skończona˛ liczba˛ punktów
przedziału A. Ponadto niech f ma skończona˛ liczb˛e punktów
krytycznych, tzn. punktów xk , w których f 0 (xk ) = 0 lub f 0 (xk )
nie istnieje.
Ekstremów globalnych funkcji f na przedziale A szukamy
post˛epujac
˛ według algorytmu:
Znajdujemy wszystkie punkty krytyczne wewnatrz
˛ przedziału
A i obliczmy wartości funkcji w tych punktach.
Obliczmy f (a) i f (b).
Porównujemy otrzymane wartości funkcji znajdujac
˛ wartość
najmniejsza˛ i najwi˛eksza.˛
Przykład
Niech f : A ⊂ R → R i
gdzie A = h0, 3i.
f (x, y) = |x − 1|,
x = 1 jest punktem krytycznym funkcji f , gdyż f 0 (1) nie
istnieje. Wtedy f (1) = 00.
f (0) = 1 i f (3) = 22.
Wówczas m = fnajmniejsze = 0 i M = fnajwiększe = 2.
Zastosowanie pochodnych do obliczanie granic funkcji
Twierdzenie (Reguła de l’Hospitala):
Niech funkcje f i g spełniaja˛ warunki:
˛
punktu x0
¬ funkcje f ,g i f 0 , g 0 b˛eda˛ określone w sasiedztwie
¬ lim f (x) = lim g(x) = 0 albo lim f (x) = lim g(x) = ∞
x→x0
x→x0
x→x0
x→x0
f 0 (x)
® istnieje granica x→x
lim 0
=a.
0 g (x)
f (x)
Wówczas istnieje granica x→x
lim
oraz
0 g(x)
f (x)
lim
=a.
x→x0 g(x)
Powyższe twierdzenie jest prawdziwe również dla granic jednostronnych, niewłaściwych oraz dla granic w
+∞ lub w −∞.
Funkcja wypukła
Funkcje f nazywamy wypukła˛ na przedziale (a, b) ⊆ R wtedy i
tylko wtedy, gdy
^
^
a<x1 <x2 <b 0<t<1
f (tx1 + (1 − t)x2 ) < tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) .
Uwaga: Geometrycznie funkcja jest wypukła, jeżeli każdy
odcinek siecznej wykresu leży powyżej fragmentu wykresu
położonego miedzy punktami, przez które przechodzi sieczna.
Funkcja wkl˛esła
Funkcje f nazywamy wkl˛esła˛ na przedziale (a, b) ⊆ R wtedy i
tylko wtedy, gdy
^
^
a<x1 <x2 <b 0<t<1
f (tx1 + (1 − t)x2 ) > tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) .
Uwaga: Geometrycznie funkcja jest wkl˛esła, jeżeli każdy
odcinek siecznej wykresu leży poniżej fragmentu wykresu
położonego miedzy punktami, przez które przechodzi sieczna.
Warunki wystarczajace
˛ wypukłości i wkl˛esłości
Twierdzenie:
Jeżeli f 00 (x) > 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest
wypukła na (a, b).
Twierdzenie:
Jeżeli f 00 (x) < 0 dla każdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest wkl˛esła
na (a, b).
Punkt przegi˛ecia wykresu funkcji
Niech funkcja f b˛edzie określona i różniczkowalna przynajmniej
w otoczeniu punktu x0 . Punkt (x0 , f (x0 )) nazywamy
punktem przegi˛ecia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje liczba δ > 0, taka że funkcja f jest wypukła na
(x0 − δ, x0 ) oraz wkl˛esła na (x0 , x0 + δ) lub odwrotnie.
Warunek konieczny istnienia punktu przegi˛ecia:
Twierdzenie: Jeżeli funkcja f posiada pochodna˛ drugiego rz˛edu
w punkcie x0 oraz posiada w punkcie (x0 , f (x0 )) punkt
przegi˛ecia, to f 00 (x0 ) = 0.
Warunek dostateczny istnienia punktu przegi˛ecia
Twierdzenie:
Niech x0 ∈ R i f b˛edzie funkcja˛ określona˛ przynajmniej w
otoczeniu punktu x0 , ciagł
˛ a˛ i różniczkowalna˛ w punkcie x0 . Jeżeli
^
f (x) < 0 oraz
^
f (x) > 0 oraz
00
x∈(x0 −δ,x0 )
^
f 00 (x) > 0
^
f 00 (x) < 0
x∈(x0 ,x0 +δ)
lub
x∈(x0 −δ,x0 )
00
x∈(x0 ,x0 +δ)
to w punkcie (x0 , f (x0 )) funkcja f ma punkt przegi˛ecia.
II warunek dostateczny istnienia punktu przegi˛ecia
Twierdzenie:
Niech x0 ∈ R i f b˛edzie funkcja˛ określona˛ przynajmniej w
otoczeniu punktu x0 .
Jeżeli
① f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0 ,
② f (n) (x0 ) 6= 0 ,
to, gdy n > 3 jest nieparzyste , funkcja f ma w punkcie
(x0 , f (x0 )) punkt przegi˛ecia..
Pochodne a wykres funkcji
f 00
+
+
–
–
+
–
f0
+
–
+
–
0
0
min. lok
max. lok
f
Uwaga: Jeżeli f 00 (x0 ) = 0 i f 000 (x0 ) 6= 0, to x0 jest punktem
przegi˛ecia si˛e wykresu funkcji f .
Badanie funkcji
Przez badanie przebiegu zmienności funkcji i sporzadzanie
˛
jej wykresu rozumiemy wykonanie
nast˛epujacych
˛
czynności:
1. Wyznaczenie dziedziny funkcji.
2. Wskazanie podstawowych własności:
(a) parzystość lub nieparzystość
(b) okresowość
(c) miejsca zerowe funkcji (punkty przeci˛ecia wykresu funkcji z osia˛ OX) i punkty przeci˛ecia
wykresu funkcji z osia˛ OY
(d) ciagłość
˛
3. Zbadanie zachowania si˛e funkcji na "ko ńcach" dziedziny - wyznaczenie asymptot wykresu funkcji.
4. Zbadanie pierwszej pochodnej - monotoniczność i ekstrema funkcji.
5. Zbadanie drugiej pochodnej - przedziały wkl˛esłości i wypukłości oraz punkty przegi˛ecia wykresu
funkcji.
6. Sporzadzenie
˛
wykresu funkcji.
Przykład
Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wykres funkcji f danej
wzorem:
x3 + 4
f (x) =
.
2
x
1. Df = R \ {0} = (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
2. Podstawowe własności funkcji f :
(a) funkcja f nie jest ani parzysta ani nieparzysta.
(b) f nie jest funkcja˛ okresowa.˛
√
3
(c) f (x) = 0 ⇔ x + 4 = 0 ⇔ x = − 3 4, zatem
√
P0 (− 3 4, 0) jest punktem przeci˛ecia wykresu funkcji z osia˛
OX; brak punktów przeci˛ecia wykresu funkcji z osia˛ OY .
(d) f jest ciagła
˛ w swojej dziedzinie.
Przykład c.d.
3. Ponieważ
f (x) =
3
x3 +4
x2
x +4
4
lim
= + = +∞,
2
x→0
x
0
"
#
wi˛ec prosta x = 0 jest asymptota˛ pionowa˛ obustronna˛
wykresu funkcji f .
Ponieważ
x3 + 4
lim
= ±∞,
2
x→±∞
x
wi˛ec wykres funkcji f nie ma asymptot poziomych.
Przykład c.d.
f (x) =
x3 +4
x2
Zbadajmy istnienie asymptot ukośnych y = ax + b:
1 + x43
f (x)
x3 + 4
= lim
= 1,
= lim
a = lim
3
x→±∞ x
x→±∞
x→±∞
x
1
" 3
x
+4
−x
b = lim [f (x) − ax] = lim
2
x→±∞
x→±∞
x
"
#
3
3
x +4−x
4
4
= lim
= lim 2 =
= 0.
2
x→±∞
x→±∞
x
x
∞
#
Istnieje wi˛ec jedna asymptota ukośna o równaniu
y=x.
Przykład c.d.
f (x) =
x3 +4
x2
4. Monotoniczność i ekstrema:
3
8
x
−8
0
f (x) = 1 − 3 =
,
3
x
x
0
f (x) = 0 ⇔ x = 2.
f
f0
+
0
x 6= 0.
−
+
2
min. lok
Ponadto fmin (2) = 3 .
Przykład c.d.
f (x) =
x3 +4
x2
5. Wkl˛esłość i wypukłość:
24
f (x) = 4 ,
x
00
x 6= 0.
Zauważmy, że dla każdego x 6= 0 mamy f 00 (x) > 0.
f
f 00
+
+
0
Zatem wykres nie posiada punktów przegi˛ecia – jest to wykres
wypukły.
Przykład c.d.
x
f 00
f (x) =
√
3
−∞, − 4
√
−34
+
+
+
+
f0
x3 +4
x2
√
3
− 4, 0
+
+
0
(0, 2)
2
(2, +∞)
×
+
+
+
×
–
2
–
+∞
f
y=x
0
y=x
+∞
×
3
Przykład c.d.
f (x) =
6.
x3 +4
x2
y
x3 + 4
y=
x2
6
3
√
−34
-4
-2
2
4
6
x
-3
Dzi˛ekuj˛e za uwag˛e

Pochodna funkcji - Katedra Matematyki, Politechnika Białostocka

Transkrypt

Podobne dokumenty

Prawo samorządu terytorialnego – wybrane zagadnienia Prawo

KWESTURA UKSW Dział Rozliczeń Studiów

KWESTURA UKSW Dział Rozliczeń Studiów

zarządzanie kryzysowe II stopień

stacjonarne II stopnia

podanie o rejestracje na semestr z brakami

Lista ocen z seminarium nr1

Moduł Kształcenia Nauczycieli

Podanie o przeniesienie