Fizyka laboratorium 3
Transkrypt
Fizyka laboratorium 3
Rozdzial 1 Fizyka laboratorium 3 1.1. Różnice skończone Przyjrzyjmy sie, równaniu różniczkowemu zwyczajnemu pierwszego rzedu, postaci: , f (y, t) = dy(t) dt (1.1) Równanie (1.1) opisuje zmiane, funkcji y przy zmianie parametru t, Jeżeli parametr t bedzie oznaczal czas, równanie to opisuje wyrażona, przez funkcje, f zmiane, funkcji , y w czasie. Rozwiazaniem analitycznym jest tego równania jest funkcja y(t). która , podstawiona do równania (1.1) przeksztalca je w tożsamość. Zamieniajac , odpowiednio przyrost dy na ∆y oraz dt na ∆t otrzymujemy: ∆y dy lim = ∆y→0,∆t→0 ∆t dt (1.2) Równanie (1.1) w rachunku różnic skończonych zapisać możemy w postaci: f (y, t) = ∆y ∆t (1.3) Mnożac , obie strony przez ∆t otrzymujemy wyrażenie na zmiane, funkcji y w przedziale czasu ∆t: ∆y = f (y, t)∆t (1.4) Znajac (poczatkowa wartość y) możemy obliczyć nowa, wartość , warunki poczatkowe , , y po uplywie czasu ∆t jako: ∆y = f (y, t)∆t (1.5) yn+1 = yn + f (yn , yn )∆t 1 1.2. Calkowanie równań różniczkowych 1.2. Calkowanie równań różniczkowych Równanie (1.1) przedstawia funkcje, y zależna, od czasu t. Równanie to można rozwia, zać poprzez calkowanie po parametrze t. Ponieważ bedziemy rozwi azywali równanie , , dla kolejnych kroków czasowych wprowadzimy nastepuj ace , , oznaczenia: yn+1 – wartość y w n + 1 kroku czasowym, yn – wartość y w n-tym kroku czasowym: Z tn+1 f (y, t)dt (1.6) yn+1 = yn + tn Równanie to opisuje przyrost funkcji y w przedziale czasu od tn do tn+1 . Cala idea metody numerycznej skupia sie, na przybliżeniu różnicowym calki po prawej stronie równania. Dokladność, z jaka, wyznaczymy wartość calki, ma znaczenie dla staże otrzymane bilności rozwiazania numerycznego równania (1.1). Należy pamietać, , , rozwiazanie jest tylko przybliżeniem rozwi azania dok ladnego. , , 1.3. Schemat różnicowy Eulera Najprostszym sposobem na przybliżenie calki z równania (1.6) jest calkowanie metoda, prostokatów. , f(y,t) fn t t n n+1 t Rysunek 1.1. metoda prostokatów , Stosujac , te, metode, otrzymamy najprostszy schemat różnicowy, zwany metoda, Eulera: yn+1 = yn + f (y, t)h + O(h2 ) (1.7) gdzie h ↔ ∆t Możemy wyprowadzić schemat metody Eulera siegaj ac , , do definicji pochodnej: y(t + h) − y(t) h→0 h 0 y (t) = lim (1.8) możemy wiec , rezygnujac , z granicy możemy zapisać przybliżenie: 0 y (t) ≈ y(t + h) − y(t) h (1.9) 2 1.4. Metoda Midpoint czyli po przeksztalceniu 0 y(t + h) − y(t) ≈ hy (t) czyli: 0 y(t + h) ≈ y(t) + hy (t) (1.10) (1.11) 0 Przechodzac , do wprowadzonej notacji y (t) = f (y, t) możemy zapisać schemat w postaci: y(t + h) ≈ y(t) = hf (y, t) (1.12) yn+1 styczna f ’(xn ) f(xn+1) f(xn) h=xn+1-xn xn xn+1 Rysunek 1.2. metoda Eulera 1.3.1. Rzad dokladności metody , Dla sprawdzenia rzedu dokladności metody dokonamy rozwiniecia funkcji y w szereg , , Taylora: y(t + h) = ∞ X y (n) n=0 n! 00 0 hn = y(t) + y (t)h + y (t) 2 y (n) n h + ... + h 2! n! (1.13) Widać, że metoda Eulera obcina rozwiniecie po pierwszej pochodnej czyli: y(t+h) ≡ , 0 yn+1 , y(t) ≡ yn , y (t)h ≡ f (y, t)h Obciecie rozwiazania do wyrazu h w potedze 1 wlacznie oznacza, że metoda różni, , , , cowa ma dokladność pierwszego rzedu wzgledem rozwiniecia w szereg Taylora. Blad , , , , 2 obciecia wynosi O(h ) , 1.4. Metoda Midpoint Nazwa metody wynika z faktu, że tn + h/2 jest punktem środkowym pomiedzy , tn w którym wartość funkcji y(t) jest znana, oraz punktem tn+1 w którym szukamy 3 1.4. Metoda Midpoint wartości funkcji y(t). Jest to metoda zaliczana do metod Runge-Kutta (inaczej zwana metoda Runge-Kutta drugiego rzedu). , Metoda ta bazuje na metodzie Eulera wykorzystujac , kolejna, pochodna, przy rozwinieciu w szereg Taylora. , nastepnie: , y(t + h) − y(t) h 0 y (t + ) ≈ 2 h (1.14) h 0 y(t + h) ≈ y(t) + hy (t + ) 2 (1.15) co możemy zapisać jako: y(t + h) ≈ y(t) + hf h h y(t + ), t + 2 2 (1.16) Nie możemy skorzystać z równania (1.16) ponieważ nie znamy wartości y w punkcie h jest rozwiniecie w szereg Taylora i przybliżenie tej wartości. t + . Rozwiazaniem , , 2 h h h 0 y t+ (1.17) ≈ y(t) + y (t) = y(t) + f (y(t), t) 2 2 2 Co po podstawieniu do (1.16) daje: y(t + h) ≈ y(t) + hf h h y(t) + f (y(t), t) , t + 2 2 (1.18) Ogólnie schemat metody MidPoint możemy zapisać jako: k1 = f (yn , tn ) h h k2 = f yn + k1 , tn + 2 2 yn+1 = yn + hk2 + O(h3 ) (1.19) (1.20) (1.21) 4 1.5. Metoda Runge–Kutta Przybli•ona styczna w punkcie tn+h/2 wynik Euler yn+1 k1 = f ( y n , t n ) h y n + k1 2 wynik MidPoint y n+1 yn h/2 h/2 tn t n+1 Rysunek 1.3. metoda MidPoint 1.5. Metoda Runge–Kutta Ogólnie metode, możemy zapisać w postaci: yn+1 = yn + h X am k m (1.22) m gdzie: am – wspólczynniki wagowe, km styczne obliczone w kolejnych krokach tn ≤ x ≤ tn+1 . Wagi spelniaja, warunek: X am = 1 (1.23) m 1.5.1. Metoda RK4 Schematycznie metode, możemy zapisać w nastepuj acy sposób: , , k1 = f (yn , tn ) h h k2 = f yn + k1 , tn + 2 2 h h k3 = f yn + k2 , tn + 2 2 k4 = f (yn + hk3 , tn + h) co zgodnie ze wzorem (1.22) daje: yn+1 = yn + h (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) 6 (1.24) 5 1.5. Metoda Runge–Kutta Przybli•ona styczna w punkcie tn+h/2 yn + wynik Euler yn+1 k1 = f ( y n , t n ) h k1 2 k 2 h h k = f (y + k , x + 3 n 2 2 n 2 y n+1 3 yn k 4 = f ( y n + hk , t n + h ) 3 1 h/2 tn h h = f (y + k , x + 2 n 2 1 n 2 h/2 t n+1 Rysunek 1.4. metoda RK4 6