Wykªad 2. Szeregi liczbowe.

Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr¦cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia,
wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa.
Wykªad 2. Szeregi liczbowe.
Denicje i podstawowe twierdzenia
Denicja Szeregiem liczbowym nazywamy wyra»enie postaci
a1 + a2 + a3 + · · · + an + . . . ,
zapisywane tak»e w formie
∞
X
an ,
gdzie
n=1
za± sum¦
Sn = a1 + a2 + · · · + an =
n
X
an ∈ R
ak
dla
n ∈ N.
n-t¡
nazywamy
Liczb¦
an
nazywamy
n-tym
wyrazem,
sum¡ cz¦±ciow¡ szeregu.
k=1
∞
X
Denicja Mówimy, »e szereg liczbowy
an jest zbie»ny, gdy istnieje wªa±ciwa granica ci¡gu sum
n=1
cz¦±ciowych {Sn }n∈N . T¡ granic¦ nazywamy sum¡ szeregu i oznaczamy j¡ tym samym symbolem,
co szereg
lim Sn = lim
n→∞
Je±li
do
lim Sn = ∞
n→∞
−∞,
(lub
n→∞
lim Sn = −∞),
n→∞
n
X
ak =
∞
X
an .
n=1
k=1
to mówimy, »e szereg
∞
X
an
jest rozbie»ny do
n=1
odpowiednio). Je±li granica sum cze±ciowych nie istnieje, to mówimy, »e szereg
∞
∞
X
an
(lub
jest
n=1
rozbie»ny.
Reszt¡ (dokªadniej
n-t¡
∞
X
reszt¡) szeregu zbie»nego
an
nazywamy liczb¦
∞
X
Rn =
n=1
ak .
k=n+1
Uwaga Je»eli szereg ma wyrazy nieujemne, to jest zbie»ny albo rozbie»ny do ∞.
Przykªady Znale¹¢ sumy cz¦±ciowe podanych szeregów i nast¦pnie zbada¢ ich zbie»no±¢:
1.
Twierdzenie Niech szeregi
∞
X
∞
X
n−1
,
n!
n=2
an
n=1
∞
X
i
∞
X
bn
2.
∞
X
√
n=1
1
√ .
n+1+ n
b¦d¡ zbie»ne oraz niech
α, β ∈ R.
Wtedy
n=1
(αan + βbn ) = α
n=1
∞
X
n=1
an + β
∞
X
bn .
n=1
Fakt Szereg zbie»ny z pogrupowanymi w dowolny sposób wyrazami ma t¦ sam¡ sum¦, co szereg
wyj±ciowy.
Uwaga Nie wolno grupowa¢ wyrazów szeregu rozbie»nego, gdy» mo»na otrzyma¢ szeregi zbie»ne
o ró»nych sumach. Na przykªad
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
(1 − 1) +
+ − −
+
+ + − − −
+ · · · = 0,
2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
1 1
1 1 1 1 1
1 1 1
1− 1− −
−
+ − − −
−
+ + − . . . − · · · = 1,
2 2
2 2 3 3 3
3 3 3
Nie jest dopuszczalna zmiana kolejno±ci sumowania niesko«czenie wielu wyrazów nawet dla szeregów zbie»nych, np. szereg
1−
1
1 1 1 1 1 1 1 1
+ − + − + − + −
+ · · · = ln 2,
2 3 4 5 6 7 8 9 10
a po przestawieniu niesko«czenie wielu skªadników otrzymamy
1+
1 1 1 1 1 1
1
1
3
− + + − + +
− + · · · = ln 2.
3 2 5 7 4 9 11 6
2
Fakt Szereg geometryczny
∞
X
xn = 1 + x + x2 + x3 + . . .
n=0
jest zbie»ny dla
|x| < 1
i rozbie»ny dla
|x| ≥ 1.
∞
X
Ponadto dla
xn =
n=0
|x| < 1
suma tego szeregu wynosi
1
.
1−x
Uwaga Przyjmujemy konwencj¦, »e dla x = 0 i n = 0 mamy xn = 1
Warunek konieczny zbie»no±ci szeregu
∞
X
an jest zbie»ny, to lim an = 0.
n→∞
n=1
Równowa»nie powy»sze twierdzenie mo»na zapisa¢ w postaci:
∞
X
Je»eli szereg
Je»eli
lim an 6= 0
n→∞
lub
lim an
n→∞
an
nie istnieje, to szereg
jest rozbie»ny.
n=1
Kryteria zbie»no±ci szeregów
Kryterium caªkowe zbie»no±ci szeregów
Niech funkcja
Wtedy szereg
f b¦dzie nieujemna i nierosn¡ca na przedziale [n0 , ∞), gdzie n0 ∈ N.
Z∞
∞
X
f (n) i caªka niewªa±ciwa
f (x) dx s¡ jednocze±nie zbie»ne albo
n=n0
rozbie»ne (do
n0
∞).
∞
X
Uwaga Reszta szeregu, czyli Rn =
f (k)
speªnia oszacowanie
k=n+1
Z∞
Z∞
f (x) dx ≤ Rn ≤
n+1
f (x) dx.
n
jednocze±nie
Przykªady Korzystaj¡c z kryterium caªkowego, zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów.
1.
Fakt Szereg
jest zbie»ny dla
∞
X
1
,
2+4
n
n=1
2.
∞
X
ln n
.
n2
n=2
∞
X
1
1
1
1
= 1 + + 2 + 3 ...
p
n
n
n
n
n=1
p>1
i rozbie»ny do
∞
dla
p ≤ 1.
Kryterium porównawcze
0 ≤ an ≤ bn dla ka»dego n ≥ n0 . Wówczas:
∞
∞
X
X
Je»eli szereg
bn jest zbie»ny, to tak»e szereg
an
Niech
1.
2. Je»eli szereg
n=1
∞
X
an
n=1
∞
X
bn
jest rozbie»ny, to tak»e szereg
n=1
jest zbie»ny.
jest rozbie»ny.
n=1
Uwaga Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe dla szeregów o wyrazach niedodatnich.
Kryterium ilorazowe
Niech
an , bn > 0
(lub
an , bn < 0)
dla ka»dego
n ≥ n0
an
= k,
n→∞ bn
lim
Wówczas szeregi
∞
X
an
oraz
n=1
∞
X
bn
gdzie
oraz niech
k ∈ (0, ∞).
s¡ jednocze±nie zbie»ne lub jednocze±nie rozbie»ne do
∞ (−∞).
n=1
Uwaga Zaªo»enie, »e wyrazy obu szeregów s¡ dodatnie(ujemne) jest istotne. Przykªadowo, szereg
∞
X
an =
n=1
lim
n→∞
∞
X
(−1)n
√
n
n=1
jest zbie»ny, szereg
∞
X
bn =
n=1
an
= 1.
bn
∞
X
n=1
1
(−1)n
+ √
n
n
jest rozbie»ny, podczas gdy
Przykªady Korzystaj¡c z kryterium porównawczego lub ilorazowego, zbada¢ zbie»no±¢ podanych
szeregów:
1.
∞
X
n=1
√
n2 + 1
,
n2 + 2
2.
∞
X
3n + n
,
n 3n + 2n
n=1
Kryterium d'Alemberta
Niech
∞
X
n=1
an
an+1 .
q = lim n→∞
an jest rozbie»ny.
Wówczas, je»eli
q<1
to szereg
∞
X
n=1
3.
an
∞
X
en − 1
.
3n − 1
n=1
jest zbie»ny, a gdy
q > 1,
to szereg
Kryterium Cauchy'ego
Niech
∞
X
an
q = lim
p
n
n→∞
|an |.
Wówczas, je»eli
q<1
to szereg
∞
X
an
jest zbie»ny, a gdy
q > 1,
to szereg
n=1
jest rozbie»ny.
n=1
Uwaga
Je±li granica
q = 1,
to ani kryterium d'Alemberata, ani kryterium Cauchy'ego nie roz-
strzyga czy badany szereg jest zbie»ny (czy te» rozbie»ny).
Przykªad
Korzystaj¡c z kryterium d'Alemberta lub z kryterium Cauchy'ego, zbada¢ zbie»no±¢
podanych szeregów
1.
∞
X
n!
,
n
n
n=1
2.
∞
X
nn
,
π n n!
n=1
3.
∞
X
2n + 3n
,
3n + 4n
n=1
4.
∞
X
arccosn
n=1
1
.
n2
Przykªad Wykaza¢ zbie»no±¢ odpowiedniego szeregu, a nast¦pnie na podstawie warunku koniecznego zbie»no±ci szeregów uzasadni¢ podane równo±ci:
n2015
= 0,
n→∞ 3n
1. lim
nn
= ∞.
n→∞ n!
2. lim
Zbie»no±¢ bezwzgl¦dna i zbie»no±¢ warunkowa
Denicja Mówimy, »e szereg
Mówimy, »e szereg
∞
X
∞
X
an
jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, gdy szereg
|an |
jest zbie»ny.
n=1
n=1
an
∞
X
jest zbie»ny warunkowo, gdy jest zbie»ny, ale nie jest zbie»ny bezwzgl¦d-
n=1
nie.
Twierdzenie Szereg zbie»ny bezwzgl¦dnie jest zbie»ny.
Uwagi
1. Je»eli szereg badany przy pomocy kryterium d'Alemberta lub Cauchy'ego jest zbie»ny, to kryteria te gwarantuj¡ jednocze±nie jego zbie»no±¢ bezwzgl¦dn¡.
2. Szereg zbie»ny bezwzgl¦dnie jest zbie»ny do tej samej sumy przy dowolnym przestawieniu kolejno±ci wyrazów.
Twierdzenie Leibniza o szeregu naprzemiennym
Je±li ci¡g
{bn }n∈N
jest nierosn¡cy od pewnego
∞
X
oraz
lim bn = 0,
n→∞
(−1)n+1 bn = b1 − b2 + b3 − b4 + . . .
n=1
jest zbie»ny.
n0 ∈ N
to szereg naprzemienny
Ponadto, dla ka»dego
n ≥ n0
prawdziwe jest oszacowanie reszty szeregu
n
X
|Rn | = |S − Sn | = S −
(−1)k+1 bk ≤ bn+1 ,
k=1
gdzie
S
oznacza sum¦ tego szeregu.
Przykªad
miennych:
Korzystaj¡c z twierdzenia Leibniza, uzasadni¢ zbie»no±¢ podanych szeregów naprze-
∞
X
π
1.
(−1) tg ,
n
n=4
n
2.
∞
X
n=1
(−1)n
p
n2 + 1 − n .