Wykªad 3. Szeregi pot¦gowe.
Transkrypt
Wykªad 3. Szeregi pot¦gowe.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr¦cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 3. Szeregi pot¦gowe. Szeregi funkcyjne. Denicja Szeregiem funkcyjnym na zbiorze X ⊂ R nazywamy wyra»enie postaci ∞ X f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + · · · + fn (x) + · · · = fn (x), n=1 gdzie {fn }n∈N jest ci¡giem funkcji okre±lonych na zbiorze Uwaga Zamiast pisa¢ ∞ X fn (x) b¦dziemy pisa¢ krótko n=1 Denicja Mówimy, »e szereg funkcyjny X ⊂ R. ∞ X fn . n=1 ∞ X fn jest zbie»ny w punkcie x n=1 granica ci¡gu sum cz¦±ciowych {Sn (x0 )}n∈N . T¡ granic¦ nazywamy 0 ∈ X , je±li istnieje wªa±ciwa sum¡ szeregu funkcyjnego i oznaczamy j¡ tym samym symbolem, co szereg: lim Sn (x0 ) = lim n→∞ Mówimy, »e szereg funkcyjny ∞ X n→∞ fn jest n X fk (x0 ) = ∞ X fn (x0 ). n=1 k=1 zbie»ny punktowo na zbiorze A ⊂ R , je±li szereg ten jest n=1 zbie»ny w ka»dym punkcie Uwaga x 0 ∈ A. ∞ X Inaczej mówi¡c, szereg funkcyjny fn jest zbie»ny w punkcie x0 , je»eli szereg liczbo- n=1 ∞ X fn (x0 ) jest zbie»ny. Do badania tej zbie»no±ci mo»na stosowa¢ wszystkie poznane do tej n=1 pory kryteria zbie»no±ci szeregów liczbowych (Cauchy'ego, d'Alemberta, porównawcze, ilorazowe i wy caªkowe). Denicja szeregu pot¦gowego. Przedziaª zbie»no±ci. Denicja Szereg funkcyjny postaci ∞ X cn (x − x0 )n , gdzie x ∈ R, n=0 nazywamy szeregiem pot¦gowym o ±rodku x 0 ∈R i wspóªczynnikach c Uwaga Przyjmujemy konwencj¦, »e dla x = x0 jest (x − x0 )0 = 1. 1 n ∈ R, n ∈ N. Denicja Promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego nazywamy liczb¦ R okre±lon¡ wzorem: 0, 1 p n lim |cn | n→∞ ∞, gdy , gdy gdy p n |cn | = ∞ p 0 < lim n |cn | < ∞ lim n→∞ n→∞ lim n→∞ p n |cn | = 0 Uwaga Promie« zbie»no±ci R mo»e te» by¢ obliczany ze wzorów 1 R = lim p n n→∞ |cn | lub cn , R = lim n→∞ cn+1 o ile granice w tych wzorach istniej¡. Twierdzenie (Cauchy'ego-Hadamarda) Niech 0 < R < ∞ b¦dzie promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego ∞ X cn (x − x0 )n . Wtedy szereg n=0 ten jest zbie»ny bezwzgl¦dnie w ka»dym punkcie przedziaªu punkcie zbioru (x0 − R, x0 + R) i rozbie»ny w ka»dym (−∞, x0 − R) ∪ (x0 + R, ∞). Uwaga • Na ko«cach przedziaªu • Je»eli R=0 • Je»eli R = ∞, • Zbiór tych (x0 − R, x0 + R) szereg mo»e by¢ zbie»ny lub rozbie»ny. to szereg jest zbie»ny tylko w punkcie x0 . to szereg jest zbie»ny bezwzgl¦dnie na caªej prostej x ∈ R, dla których szereg pot¦gowy przedziaªem zbie»no±ci ∞ X cn (x − x0 )n R. jest zbie»ny, nazywamy jego n=0 . Przykªady Znale¹¢ przedziaªy zbie»no±ci szeregów pot¦gowych: ∞ √ ∞ X X n(x + 1)n 1. , 2. (5x − 10)n , n + 1 n=1 n=1 3. ∞ X xn , nen n=1 Szereg Taylora. Szereg Maclaurina. Denicja Niech funkcja f ma w punkcie x0 pochodne dowolnego rz¦du. Szereg pot¦gowy ∞ X f (n) (x0 ) f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) (x − x0 )n = f (x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 )2 + . . . n! 1! 2! n=0 szeregiem Taylora funkcji f o ±rodku w punkcie x szeregiem Maclaurina nazywamy . 2 0 . Je»eli x0 = 0 to szereg ten nazywamy Uwaga Przypomnijmy, »e n-ta reszta Rn (x) we wzorze Taylora (czyli reszta Lagrange'a) dla funkcji f jest postaci Rn (x) = f (n) (c) (x − x0 )n , n! gdzie c ∈ (x0 , x) lub c ∈ (x, x0 ). Twierdzenie (o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora) Je»eli 1. funkcja f ma na otoczeniu 2. dla ka»dego x∈O granica O punktu x0 pochodne dowolnego rz¦du oraz lim Rn (x) = 0, n→∞ to ∞ X f (n) (c) (x − x0 )n f (x) = n! n=0 Uwaga W zaªo»eniu 2. punkt pochodne funkcji f c n zale»y od i od x. dla ka»dego x ∈ O. Zamiast tego mo»na przyj¡¢, »e wszystkie s¡ wspólnie ograniczone, tzn. »e istnieje liczba dodatnia |f n (x)| ≤ M dla ka»dego n ∈ N ∪ {0} M taka, »e x ∈ O. oraz dla ka»dego Szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych ∞ X 1 = xn = 1 + x + x2 + x3 + . . . 1 − x n=0 dla |x| < 1, ∞ X xn x x2 x3 =1+ + + + ... n! 1! 2! 3! n=0 dla x ∈ R, ∞ X (−1)n 2n+1 x3 x5 x7 x =x− + − + ... (2n + 1)! 3! 5! 7! n=0 dla ex = sin x = cos x = ∞ X (−1)n 2n x2 x4 x6 x =1− + − + +... (2n)! 2! 4! 6! n=0 dla x ∈ R, x ∈ R. Rozwini¦cia innych funkcji elementarnych znale¹¢ mo»na np. w podr¦czniku M. Gewerta i Z. Skoczylasa Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory. Przykªady Znale¹¢ szeregi Maclaurina podanych funkcji i okre±li¢ przedziaªy ich zbie»no±ci: 1. f (x) = 5 , 1 + 2x x 3. f (x) = sin , 2 2. f (x) = x2 e−x , 4. f (x) = x3 . 16 − x2 Twierdzenie (o jednoznaczno±ci rozwini¦cia funkcji w szereg pot¦gowy) Je»eli f (x) = ∞ X cn (x − x0 )n dla ka»dego x z pewnego otoczenia punktu n=0 cn = f (n) (x0 ) n! dla 3 n = 0, 1, 2, · x0 , to Uwaga 1. Inaczej mówi¡c, je»eli na otoczeniu punktu funkcja jest sum¡ pewnego szeregu pot¦gowego, to jest to jej szereg Taylora. 2. Znaj¡c rozwini¦cie funkcji w szereg pot¦gowy f (x) = ∞ X cn (x − x0 )n i korzystaj¡c z powy»szego n=0 twierdzenia, mo»na obliczy¢ warto±¢ pochodnej f (n) (0) = cn · n!. Przykªady Korzystaj¡c z rozwini¦¢ Maclaurina funkcji elementarnych, obliczy¢ wskazanie pochodne: 1. f (50) (0), 2. f (2015) (0), 3. f (10) (0), dla funkcji f (x) = x2 cos x dla funkcji dla funkcji , f (x) = xe−x , f (x) = x sin2 x 2. Twierdzenie (o ró»niczkowaniu i caªkowaniu szeregów pot¦gowych) Niech 0<R≤∞ b¦dzie promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego ∞ X cn x n . Wtedy: n=0 ∞ X 1. !0 cn x n = 2. 0 ncn xn−1 dla ka»dego x ∈ (−R, R), n=1 n=0 Zx ∞ X ∞ X ! cn t n=0 n = ∞ X cn n+1 x n +1 n=0 dla ka»dego Przykªady Wyznaczy¢ szeregi pot¦gowe f 0 x ∈ (−R, R). Zx (x) f (t) dt oraz dla funkcji: 0 1. f (x) = Przykªady 1 , 1 + x3 2. f (x) = sin x2 . Stosuj¡c twierdzenie o ró»niczkowaniu i caªkowaniu szeregów pot¦gowych, obliczy¢ sumy szeregów: 1. ∞ X n(n + 1) , 5n n=2 2. 4 ∞ X 1 . (n + 1)3n n=0