Ćwiczenia do wykładu Fizyka Statystyczna i Termodynamika

Ćwiczenia do wykładu Fizyka Statystyczna i Termodynamika
Prowadzący dr Agata Fronczak
Zestaw 2. Równania stanu i druga zasada termodynamiki.
1.31 Równanie stanu pewnego układu termodynamicznego ma postać
p = f (V )T.
(1)
Pokaż, że energia wewnętrzna tego układu nie zależy od objętości.
Uwaga: Zauważmy, że równanie stanu gazu doskonałego pV = nRT
spełnia warunki tego zadania. Oznacza to, że energia wewnętrzna gazu
doskonałego nie zależy od objętości. Dzieje się tak dlatego, ponieważ
cząsteczki gazu doskonałego są traktowane jak punkty materialne, których
objętość jest równa zero. Energia wewnętrzna gazu doskonałego jest jedynie sumą energii kinetycznych cząsteczek, przez co zależy tylko od temperatury. Czy z treści tego zadania można wysnuć wniosek, że energia
wewnętrzna gazu Van der Waalsa również nie zależy od objętości?
Wskazówka: Skorzystaj z zależności, której dowód został wykonany w
zadaniu 1.4 (Zestaw 1.)
1.32 Przeprowadzono eksperyment, w którym pokazano, że iloczyn
ciśnienia oraz objętości jednego mola pewnego gazu, jak również
jego energia wewnętrzna są jedynie funkcjami temperatury, tzn.
pv = f (T )
oraz
u = u(T ).
(2)
Co można powiedzieć o funkcji f (T )?
Odpowiedź: f (T ) = const T .
Uwaga: Na podstawie tego zadania można wywnioskować, że energia
wewnętrzna gazu doskonałego zależy jedynie od temperatury, a ponadto
jest jej liniową funkcją.
1.33 Energia wewnętrzna jednostkowej objętości pewnego gazu u jest
jedynie funkcją temperatury, tj. u ≡ u(T ). Równanie stanu tego
gazu ma postać
Ci = Np (t, i)
(3)
Określ funkcyjną postać zależności u(T ).
podanej w zadaniu 1.4.
1
Skorzystaj z relacji
Odpowiedź: u(T ) = const T 4 .
Uwaga: Zależność (3) jest równaniem stanu gazu fotonowego, zaś relacja
u(T ) = const T 4 wyraża znane prawo Stefana-Boltzmanna.
1.34 Oblicz gęstość entropii s = S/V gazu fotonowego. Skorzystaj z
poniższych relacji
p=
1
u
3
oraz
u = σT 4 ,
(4)
gdzie u oznacza gęstość energii, p - ciśnienie gazu fotonowego,
zaś σ reprezentuje pewną stałą.
Odpowiedź: s =
4 3
σT + const.
3
2.5 Układ o temperaturze T otrzymał ciepło dQ z otoczenia o temperaturze T0 6= T . Jak zmieniła się entropia dS układu? Ile
entropii wyprodukowano podczas tego procesu? Załóż, że temperatura układu pozostała niezmieniona.
Odpowiedź: dS = dQ/T , dS e = dQ/T0 , dS i = dS−dS e = dQ(1/T −1/T0 ).
2.6 Przeanalizujmy układ złożony z wody i grzałki elektrycznej. Rozważmy
następującą sytuację: przez grzałkę przepuszczamy prąd, dzięki
czemu zwiększamy energię wewnętrzną układu o dU . Załóżmy
również, że woda bardzo szybko stygnie, przez co temperatura
układu nie zmienia się T = const. Jak zmienia się entropia w
badanym układzie?
Wskazówka: Układ znajduje się w stanie stacjonarnym, w którym funkcje
stanu (m.in. entropia) i parametry układu nie zmieniają się w czasie.
Wprawdzie entropia jest produkowana w układzie (patrz zadanie 2.2),
ale przy braku osłony adiabatycznej, całą wyprodukowaną entropię układ
przekazuje otoczeniu.
Odpowiedź: dS = 0, dS i = −dS e = dU/T .
2.7 Rozważ układ izolowany złożony z trzech kawałków metalu o
temperaturach T1 , T2 oraz T3 . Ciepło może przepływać między
kawałkami metalu 1 → 2 oraz 2 → 3, ale wymiana ciepła jest
bardzo słaba (tzn. kawałki metalu są połączone za pomocą
bardzo słabego przewodnika ciepła). Zakładając, że ciepło dQ ≥
0 przepływa w kierunku 1 → 2 oraz 2 → 3, pokaż, że T1 ≥ T2 ≥ T3 .
Skorzystaj z drugiej zasady termodynamiki.
2
Wskazówka: Proces wyrównywania się temperatur opisany w treści zadania jest nieodwracalny (dlaczego?). Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki, w procesach nieodwracalnych produkcja entropii jest dodatnia.
2.8 n moli wody o temperaturze T1 doprowadzono do kontaktu cieplnego
z ogromnym zbiornikiem ciepła o temperaturze T2 . Oblicz zmiany entropii: wody, otoczenia oraz układu złożonego z wody i
otoczenia, jakie nastąpią do momentu wyrównania się temperatur. Załóż, że molowe ciepło właściwe wody jest stałe i wynosi
cv .
Odpowiedź: ∆Sw = ncv ln(T2 /T1 ), ∆So = −ncv (T2 − T1 )/T2 ,
∆S(w+o) = −ncv [ln(T1 /T2 ) + (1 − T1 /T2 )].
2.9 Oblicz zmianę entropii gazu doskonałego podczas nieodwracalnych procesów:
i. izochorycznego ogrzewania gazu T → 2T ,
ii. izotermicznego rozprężania gazu V → 2V .
Wskazówka: Entropia gazu doskonałego jest opisana wzorem S(V, T ) =
CV ln T + nR ln V + const.
Odpowiedź: i. ∆SV = CV ln 2, ii. ∆ST = nR ln 2.
2.10 Dwa rodzaje gazu doskonałego o tym samym ciśnieniu p i o tej
samej temperaturze T umieszczono w dwóch częściach pudełka,
rozdzielonych nieprzepuszczalną przegrodą. Następnie, usunięto
przegrodę i gazy wymieszały się. Pokaż, że po usunięciu przegrody entropia układu wzrosła o wartość
·
µ
¶
µ
¶¸
n1
n2
∆S = −R n1 ln
+ n2 ln
,
(5)
n1 + n2
n1 + n2
gdzie n1 oznacza liczbę moli pierwszego gazu, zaś n2 liczbę moli
drugiego gazu. Załóż, że po wymieszaniu się gazów temperatura
i ciśnienie układu pozostały niezmienione.
3
V
a
a
b
V2
V=V1+V2
V
V1
b
(a)
(b)
Rysunek 1: Do zadania 2.10.
4
(c)