Kółko 12 wrzesnia

Kółko Informatyczne - dynamiki - zadania z KI
12 września 2011
1. Jaś ma n elementowy ciąg. Każdy z jego elementów ma przypisaną liczbę z przedziału [-10^9, 10^9],
która oznacza, jak bardzo Jaś go lubi. Ale ciąg Jasia zaczął się nudzić. Dlatego chce wybrać taki
(niespójny) kawałek ciągu, który się nie będzie nudził i jednocześnie Jaś będzie go bardzo lubił (suma
będzie maksymalna). Element nowego podciągu nudziłby się, gdyby miał takiego samego sąsiada jak
wcześniej. (n < 10^6)
2. Są dwa stosy naleśników, których smakowitości są liczbą z przedziału [-10^3, 10^3]. Bracia Bajtek i
Bitek grają w grę, w której na zmianę zdejmują po jednym naleśniku i go zjadają. Obaj chcieliby, aby
suma smakowitości zjedzonych przez nich naleśników była jak największa. Grają optymalnie, a Bajtek
zaczyna. Jaki może uzyskać wynik? Na każdym ze stosów jest mniej niż 2000 naleśników.
3. Zagadka: Jaka jest ostatnia niezerowa cyfra n! (n < 10^18)?
4. a) Gra sobie dwóch graczy. Na stole jest ciąg n (<2000) liczb mniejszych od miliarda. Ruch polega na
zabraniu liczby z początku albo z końca ciągu. Gra kończy się, gdy nie ma więcej liczb. Wygrywa ten,
kogo suma liczb będzie większa. Jaki wynik może osiągnąć gracz zaczynający?
b) Tym razem liczby są na okręgu. Pierwszy ruch polega na wyciągnięciu dowolnej liczby. Potem ciąg
ma już początek i koniec, więc gra toczy się jak w punkcie a.
c) A gdy mamy p (<500) takich okręgów na początku i w każdym n’ (<500) liczb? Gracz wybiera okrąg
i wykonuje na nim ruch, po czym grają jak w ptk. b. Gdy okrąg się skończy, ten, kogo wypadła teraz
tura, wybiera kolejny.
5. Nawiasowaniem jest ciąg nawiasów otwierających i zamykających. Poprawne nawiasowanie to takie,
które jest poprawne ;). Ile jest poprawnych nawiasowań n (<50) elementowych, które na podanych
pozycjach mają nawiasy otwierające?
6. Mamy podane nawiasowanie n elementowe. (n < 10^5) Chcemy móc wykonywać operacje: odwróć
nawias na p-tej pozycji w drugą stronę oraz zapytanie, czy w tym momencie nawiasowanie jest
poprawne.
7. Ile jest takich permutacji liczb 1 ... n (n<20), które mają dokładnie k inwersji? Inwersją nazywamy
taką parę (niekoniecznie kolejnych) indeksów (i,j), że i< j, ale ai > aj. Na przykład ciąg (1,3,4,2) ma 2
inwersje: (3,2) oraz (4,2).
8. Pewien bajtocki poeta chce napisać wiersz. Dostępne jest mu tylko 0≤T≤2000 toposów i jedynie
0≤A≤2000 archetypów. Obmyślając kolejne fragmenty poeta może:
a. zapisać wers używając jednego z nie użytych jeszcze toposów,
b. zapisać wers używając jednego z nie użytych archetypów,
c. zapisać wers wyrażający n-elementową (n>0) antropomorfizację, zamieniając tym samym
pierwsze n (alfabetycznie) nie użytych toposów w nowe archetypy,
d. albo zakończyć utwór (może być pusty).
Każda n-elementowa antropomorfizacja wygląda tak samo (niezależnie od tego co zamieni). Ile
różnych wierszy może napisać? Braki kulturowe sprawiły, że w jego regionie nie produkują pamięci
większych niż 8MB.
9. Bajtazar jest właścicielem n (< 50) kopalni złota oraz zatrudnił już w (<6n) pracowników. W każdej
kopalni może pracować co najwyżej 6 pracowników i być w niej 6 pokładów złota. Bajtazar nie wie, ile
jest pokładów w której kopalni, ale zna ich rozkłach ich prawdopodobieństwa. Żeby nie było nikomu
smutno, chce przydzielić każdego do jakiejś kopalni, jednocześnie maksymalizując swój oczekiwany
zysk. Z każdej kopalni, zależnie od liczby pokładów (p) i pracowników (w) zarabia:
a. Jeśli w<p: 60$ * w
b. Jeśli w=p: 50$ * w
c. Jeśli w>p: 50$ * p - 20$ * (w-p)