Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki. Zestaw

Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki.
Zestaw 7
• Zadania związane z liczeniem rzędu macierzy oraz z rozwiązywaniem
układów równań.
1. Które z poniższych odwzorowań są przekształceniami liniowymi:
(a) f : R → R, f (x) = 3x + 2, (b) f : R → R, f (x) = 2x,
(c) f : R2 → R, f (x1 , x2 ) = 4x1 + 2x22 , (d) f : R → R2 , f (x) = (2x, −x),
(e) f : R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , 2x3 , x2 − x1 ).
2. (a) Podaj przykład funkcji f : R2 → R takiej, że f (av) = af (v) dla
a ∈ R oraz v ∈ R2 , ale f nie jest funkcją liniową.
(b) Podaj przykład funkcji z jednej przestrzeni liniowej w drugą, która
jest addytywna, ale nie jest liniowa.
3. Niech g : R3 → R3 będzie odwzorowaniem zadanym następująco:
g(x1 , x2 , x3 ) = (2x1 + x2 − x3 , x2 − x1 + 3x3 , x1 − 2x2 + 3x3 ). Pokazać, że
odwzorowanie g jest liniowe, wyznaczyć bazę dla ker g oraz im g. Obliczyć
rząd przekształcenia g.
4. Czy jest możliwe, by jądrem pewnego odwzorowania liniowego f : R2 →
R2 był zbiór:
(a) {(x1 , x2 ) ∈ R2 ; x1 = 0 ∨ x2 = 0}, (b) {(x1 , x2 ) ∈ R2 ; x1 + x2 = 0}
(c) {(0, 1)}?
5. Niech V będzie przestrzenią liniową nad R, a b ustalonym wektorem.
Niech ϕ : R2 → V będzie przekształceniem liniowym zadanym następująco:
ϕ(e1 ) = 2b, ϕ(e2 ) = −3b. Wyznaczyć ker ϕ i jego wymiar w zależności od
wektora b.
6. Podaj przykład przekształcenia liniowego g : R[x]3 → R[x]3 (wyrażonego konkretnym wzorem) spełniającego warunek: ker g = h{1, x, x2 }i oraz
im g = h{x2 }i. Czy g jest wyznaczone jednoznacznie?
7. Pokaż, że dowolne przekształcenie liniowe ϕ jednowymiarowej przestrzeni liniowej V nad ciałem K ma postać ϕ(v) = λv, dla każdego v ∈ V
oraz pewnego λ ∈ K.
8. Niech ϕ będzie przekształceniem liniowym przestrzeni R[x]n przeprowadzającym każdą funkcję wielomianową w jej pochodną. Pokaż, że ϕn+1 = 0.
9. Niech ϕ będzie przekształceniem liniowym przestrzeni liniowej V w siebie takim, że ϕ2 = ϕ. Udowodnić, że wówczas przestrzeń V jest sumą prostą
jądra oraz obrazu przekształcenia ϕ.
4
10. Znajdź macierz przekształcenia liniowego
4 → R w bazach
 0 ϕ : R[x]
(f − f )(1)
 (f 0 + f )(1) 

standardowych zadanego wzorem ϕ(f ) = 
 (f 0 + f )(−1) , dla f ∈ R[x]4 .
(f 0 − f )(−1)
7 −3
11. Znajdź macierz przekształcenia liniowego T x = Ax, A =
,
10
−4
1
3
w bazie f1 =
, f2 =
.
2
5
12. Znajdź macierz operatora różniczkowania d : V → V , gdzie V =
h{f1 , f2 }i < F(R, R); f1 (x) = cos x, f2 (x) = sin x, w bazie (f1 , f2 ).
13. Znajdź macierz operatora różniczkowania d : K[x]3 → K[x]3 , (d(xn ) =
nx ) w bazie:
(a) 1, x, x2 , x3 nad K = Z3 ,
(b) 1, x − a, (x − a)2 , (x − a)3 nad K = Q, gdzie a jest ustaloną liczbą
wymierną.
n−1
2
2
14. Niech przekształcenie
liniowe f : R → R będzie reprezentowane
−1 1
przez macierz A =
. Wyznaczyć wszystkie bazy, przy których ob2 0
razem wektora (2, 0) będzie wektor (0, −3).
15.
Niech macierzą przekształcenia liniowego przy pewnej bazie będzie
1 1
A=
. Wykazać, że nie istnieje baza, przy której to przekształcenie
0 1
1 1
reprezentowane jest przez macierz B =
.
1 1