Lista przygotowawcza przed kolokwium zaliczeniowym z przedmiotu

Lista przygotowawcza przed kolokwium
zaliczeniowym z przedmiotu Matematyka MAP3032
E/AiR, rok IV
Zadania będą wymagały podania jakiejś definicji i rozwiązania zadania analogicznego do
poniższych. Trzeba znać:
1. definicje: podprzestrzeni liniowej, kombinacji liniowej, podprzestrzeni generowanej
przez ustalony zbiór, liniowej niezależności wektorów, wymiaru i bazy przestrzeni liniowej (patrz wykład 1); przekształcenia liniowego i funkcjonału liniowego (wykład
2); normy i przestrzeni unormowanej, ciągu zbieżnego i warunku Cauchy’ego, przestrzeni Banacha (wykład 3); iloczynu skalarnego, przestrzeni unitarnej i przestrzeni
Hilberta (wykład 4); wektorów ortogonalnych, bazy ortonormalnej, współczynników
Fouriera i szeregu Fouriera (wykład 5); σ-algebry, σ-algebry borelowskiej w R, funkcji
mierzalnej, miary (wykład 6).
2. definicje przestrzeni: lp i Lp (X, µ) dla 1 ¬ p ¬ ∞, c0 , c, C([0, 1]) oraz postaci norm
w tych przestrzeniach (ewetualnie iloczynów skalarnych).
PRZYKŁADOWE ZADANIA
1. Sprawdzić, czy zbiór A = {f ∈ C([0, 1]) :
R1
f (x) dx = 0)} jest podprzestrzenią linio-
0
wą przestrzeni C([0, 1]).
2. Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni liniowej
V = {W ∈ R3 [x] : W 0 (0) = 0},
gdzie R3 [x] oznacza przestrzeń wielomianów stopnia nie wyższego niż 3, a W 0 to
pochodna wielomianu W .
3. Znaleźć macierz przekształcenia liniowego L : R3 → R4 danego wzorem
L(x, y, z) = (x + y, x + z, x + y + z, 2x − y − z),
gdy w R3 przyjmiemy bazę standardową, a w R4 bazę
{(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}.
4. W przestrzeni l2 wyznaczyć normy elementów
1 1
1
x = ( , , ..., , 0, 0, ...)
|9 9{z 9}
9 razy
1 1
1
y = (0, 0, 0, , , ..., , 0, 0, ...)
|9 9{z 9}
9 razy
i obliczyć odległość między nimi.
5. W przestrzeni l2 dany jest układ wektorów
1 1
1
1
A = {( √ , √ , 0, 0, ...), ( √ , − √ , 0, 0, ...)}.
2 2
2
2
Sprawdzić, że jest to układ ortonormalny. Obliczając współczynniki Fouriera elementu x̄ = ( n1 )n∈N = (1, 21 , 31 , ...) względem podanego układu, znaleźć rzut x̄ na
podprzestrzeń lin(A).
6. Obliczyć całkę Lebesgue’a z fuunkcji 1([−2,2]) względem miary
µ(A) = δ0 (A) +
∞
X
∞
X
1
1
δ
(A)
+
δ (A).
n
n
n −n
n=1 2
n=1 3
ROZWIĄZANIA
1. Tak, A jest podprzestrzenią liniową C([0, 1]), bo jeśli f i g należą do A, a a jest
dowolną liczbą, to
Z1 f (x) + g(x) dx =
0
Z1
f (x) dx +
0
Z1
0
a · f (x) dx = a ·
Z1
g(x) dx = 0, więc f + g ∈ A
0
Z1
f (x) dx = 0, więc af ∈ A
0
2. Przestrzeń V składa się z wielomianów postaci W (x) = ax3 + bx2 + cx + d. Wtedy
W 0 (x) = 3ax2 + 2bx + c,
więc W 0 (0) = c. Otrzymujemy warunek c = 0, czyli
V = {ax3 + bx2 + d : a, b, d ∈ R} = lin{1, x2 , x3 }.
Stąd bazą V jest {1, x2 , x3 }, a dim V = 3.
3. Kolumny macierzy przekształcenia tworzą współrzędne obrazów wektorów bazowych.
Baza standardowa w R3 to :
{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
Niech
v̄1 = (1, 0, 0, 0)
v̄3 = (0, 0, 1, 0)
v̄2 = (0, 1, 0, 0)
v̄4 = (0, 0, 0, 1).
Mamy
L(1, 0, 0) = (1, 1, 1, 2) = (2, 2, 2, 2) − (1, 1, 1, 0) = 0 · v̄1 + 0 · v̄2 − 1 · v̄3 + 2v̄4
L(0, 1, 0) = (1, 0, 1, −1) = −(1, 1, 1, 1) + 2(1, 1, 1, 0) − (1, 1, 0, 0) + (1, 0, 0, 0)
= 1 · v̄1 − v̄2 + 2 · v̄3 − v̄4
L(0, 0, 1) = (0, 1, 1, −1) = −(1, 1, 1, 1) + 2(1, 1, 1, 0) + 0 · (1, 1, 0, 0) − (1, 0, 0, 0)
= −1 · v̄1 + 0 · v̄2 + 2 · v̄3 − v̄4 .




Zatem AL = 
0
1 −1
0 −1
0
−1
2
2
2 −1 −1



.

4.
||x||2 =
v
u∞
uX
t
xk
s
=
9·
2
k=1
1
9
=
1
3
Podobnie ||y||2 = 31 .
1 1 1
1 1 1
x − y = ( , , , 0, 0, 0, 0, 0, 0, − , − , − , 0, 0, ...)
9 9 9
9 9 9
Zatem odległość między x a y, to
s
||x − y||2 =
3·
1
1
1√
+ 3 · (− )2 =
6
9
9
3
5. Nasz zbiór ma tylko dwa wektory, więc aby sprawdzić ortogonalność wystarczy obliczyć ich iloczyn skalarny. Niech
1 1
v̄ = ( √ , √ , 0, 0, ...),
2 2
Wtedy
hv̄, w̄i =
1
1
w̄ = ( √ , − √ , 0, 0, ...).
2
2
∞
X
1
1
1
1
vn wn = √ · √ + √ · (− √ ) = 0
2
2
2
2
n=1
Ponadto normy v̄ i w̄ wynoszą 1, bo
||v̄||2 =
v
u∞
uX
t
|v |2
n
=
v
u
u
t
=
v
u
u
t
n=1
||w̄||2 =
v
u∞
uX
t
|w |2
n
n=1
1
√
2
1
√
2
!2
!2
1
+ √
2
!2
1
+ −√
2
= 1,
!2
=1
Zatem jest to układ ortonormalny. Rzut wyznaczamy obliczając szereg Fouriera
względem tego układu (będzie oczywiście skończony).
1
1 1
3
hx̄, v̄i = 1 · √ + · √ = √
2 2
2
2 2
!
1
1
1
1
hx̄, w̄i = 1 · √ + · − √
= √
2 2
2
2 2
Rzutem jest więc element
3
√
v̄
2 2
+
1
√
w̄,
2 2
którego współrzędnymi są
3
1
1
1
3
1
1
1
1
( √ · √ + √ · √ , √ · √ − √ · √ , 0, 0, ...) = (1, , 0, 0, ...).
2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
(Ta ostatnia odpowiedź jest oczywista, bo przecież v̄ i w̄ rozpinają przestrzeń zależną
od dwóch pierwszych współrzędnych.)
6. Miara ta przypisuje zeru masę 1, każdemu punktowi naturalnemu n masę 21n , a całkowitemu ujemnemu masę 31n . Funkcja charakterystyczna zbioru jest funkcją prostą.
Całka z funkcji charakterystycznej zbioru to po prostu miara tego zbioru. Do [−2, 2]
należą punkty −2, −1, 0, 1, 2, więc mamy
Z
1[−2,2] dµ = µ([−2, 2]) =
1 1
4 + 12 + 36 + 3 + 9
64
16
1 1
+ +1+ + =
=
=
9 3
2 4
36
36
9