matematyka 2

Matematyka 2
Równania różniczkowe zwyczajne
rzędu pierwszego
Literatura
 M.Gewert, Z.Skoczylas; Równania różniczkowe
zwyczajne; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 1999
 D.Mozyrska, E.Pawłuszewicz, R.Stasiewicz; Równania
różniczkowe zwyczajne; Dział Wydawnictw i Poligrafii
PB, Białystok, 2001
 W.Żakowski, W.Leksiński; Matematyka cz IV; WNT,
Warszawa, 1984
 W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski; Matematyka dla
studiów esperymentalnych; WNT, Warszawa, 1981
 W.Stankiewicz, J.Wojtowicz; Zadanie z matematyki
dla wyższych uczelni technicznych cz II; PWN,
Warszawa, 1983
Przykład
Rozwiązać następujące zagadnienie początkowe
y” = 12x,
y(0)=2,
y’(0)=3.
Przykład
Naszkicować krzywą całkową równania
y’ = 2x
przechodzącą przez punkt A(1,1).
Postacie równań różniczkowych rzędu I
Równanie różniczkowe rzędu pierwszego
będziemy przedstawiać w postaci
y’=f(x,y)
lub
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności
Twierdzenie 1. Niech f(x,y) będzie funkcją
określoną i ciągłą na prostokącie
P={f(x,y): a≤x≤b, c≤y≤d}.
Załóżmy, że funkcja f/y również jest ciągła na
prostokącie P. Wtedy dla każdego punktu
(x0,y0)P istnieje przedział I zawierający x0 taki,
że zagadnienie początkowe
dy/dx=f(x,y), y(x0)=y0
ma jednoznaczne rozwiązanie dla każdego xI.
Przykład
Czy równanie różniczkowe
y’ = x2 + y2
posiada jednoznaczne rozwiązanie?
Przykład
Czy zagadnienie początkowe
y  2 y  1, y0  1
posiada jednoznaczne rozwiązanie?
Uwaga: Rozwiązaniami tego zagadnienia są
y=1+x2, x≥0 oraz y=1.
R-a różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Definicja 1. Równanie różniczkowe zwyczajne
pierwszego rzędu nazywamy równaniem o
zmiennych rozdzielonych, jeżeli może być
zapisane w postaci:
dy
p ( y )  q ( x)
dx
R-a różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Twierdzenie 2. Jeżeli p(y) i q(x) są funkcjami
ciągłymi, to równanie
dy
p( y )
 q ( x)
dx
ma rozwiązanie ogólne
 p( y) dy   q( x) dx  C
gdzie C jest stałą.
R-a różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Rozwiązać równanie różniczkowe
y’=-2y2x.
R-a różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Rozwiązać zagadnienie początkowe
y’=-2y2x,
y(1)=1/2.
R-a różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Rozwiązać zagadnienie początkowe
y’=-2y2x,
y(1)=0.
Równania różniczkowe jednorodne
względem zmiennych
Definicja 2. Funkcję f(x,y) nazywamy funkcją
jednorodną jeżeli dla wszystkich dodatnich λ
zachodzi f(λx, λy)=f(x,y).
Definicja 3. Równanie różniczkowe
y’=f(x,y)
nazywamy równaniem różniczkowym
jednorodnym względem zmiennych, jeżeli funkcja
f(x,y) jest funkcją jednorodną. Wtedy
dy
 y
 F    F (v)
dx
x
gdzie
y
v
x
Równania różniczkowe jednorodne
względem zmiennych
Przykład
Rozwiązać zagadnienie początkowe
x2y’=y2-xy+x2,
y(1)=2.
Równania różniczkowe liniowe rzędu I
Definicja 4. Równanie różniczkowe, które może być
zapisane w postaci
dy
a ( x )  b( x ) y  r ( x )
dx
gdzie a(x), b(x) i r(x) są funkcjami zdefiniowanymi
na przedziale (α,β), nazywamy równaniem liniowym
rzędu pierwszego.
Równania różniczkowe liniowe rzędu I
Definicja 4. Równanie różniczkowe, które może być
zapisane w postaci
dy
a ( x )  b( x ) y  r ( x )
dx
gdzie a(x), b(x) i r(x) są funkcjami zdefiniowanymi
na przedziale (α,β), nazywamy równaniem liniowym
rzędu pierwszego.
Gdy a(x)0 otrzymujemy
dy
 p ( x) y  f ( x)
dx
Równania różniczkowe liniowe rzędu I
Twierdzenie 3. Jeżeli ys jest rozwiązaniem
szczególnym równania liniowego niejednorodnego
y’+p(x)y=f(x),
to rozwiązanie ogólne tego równania dane jest
wzorem
y=ys+yo,

 p ( x ) dx
gdzie yo  Ce
jest rozwiązaniem ogólnym
równania liniowego jednorodnego yo’+p(x)yo=0.
Równania różniczkowe liniowe rzędu I
CORN = CSRN + CORJ
METODA 1 – Metoda uzmienniania stałej
METODA 2 – Metoda przewidywań
Metoda uzmienniania stałej (M.Lagrange’a)
Przykład
Rozwiązać równanie różniczkowe
(2x+1) y’ + y = x,
x>-1/2.
Metoda przewidywań
Rozważmy równanie
y’ + py = f(x).
Rozwiązanie szczególne można przewidywać gdy p
jest stałą, a funkcja f(x) jest odpowiedniej postaci.
Metoda przewidywań
Przykład
Rozwiązać zagadnienie początkowe
y’ - y = 2x2 -x,
y(0)=-1.