MATEMATYKA – ZADANIA 12 – 23 marzec 2007 Zadanie 1

MATEMATYKA – ZADANIA
12 – 23 marzec 2007
Zadanie 1 Rozwiązać równania różniczkowe zupełne:
a) (2x3 − xy 2 )dx + (2y 3 − x2 y)dy = 0
b) (1 +
y
x2 )dx
− x1 dy = 0
c) ey dx + (xey − 2y)dy = 0
Zadanie 2 Znajdź czynnik całkujący i rozwiąż równanie różniczkowe:
a) (x2 + y)dx − xdy = 0
b) (x2 + y 2 + 2x)dx + 2ydy = 0
Zadanie 3 Znaleźć rozwiązania równań różniczkowych liniowych w postaci szeregów potęgowych:
a)
dy
dx
+ 3x2 y = 1
b)
dy
dx
= x2 − y
c)
dy
dx
− x3 y = 1
Zadanie 4 Rozwiązać równania różniczkowe Bernoulliego:
√
a) y 0 + y = x y
b) xy 0 + y = y 2
c) xy 0 + y = y 2 ln x
Zadanie 5 Rozwiązać następujące równania różniczkowe Clairauta:
a) y = xy 0 + (y 0 )4
b) y = xy 0 +
1
y0
c) y = xy 0 − (y 0 )2
d) y = xy 0 + y 0 − (y 0 )2
Zadanie 6 Rozwiązać równania różniczkowe II-go rzędu redukujące się do równań I-go rzędu :
a) (1 + x)y” = y 0 , y(0) = 0, y 0 (0) = 1
d) y 3 y” = −1, y(1) = 1, y 0 (1) = 0
b) xy” = y 0
e) y” = −y
c) y” = y 0 + ex
f) yy” − (y 0 )2 = 0