Równania różniczkowe rzędu pierwszego. Równania różniczkowe o

Budownictwo, semestr II
rok ak. 2008/2009
Matematyka
Lista I.
Równania różniczkowe rzędu pierwszego.
1.1. Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami wskazanych równań różniczkowych na zadanych
przedziałach:
sin x
,
x
(b) y(x) = x2 ,
1
(c) y(x) =
,
1 + x2
√
(d) y(x) = − 4 − x2 ,
(a) y(x) =
xy 0 + y = cos x, (−∞, 0) lub (0, +∞);
xy 0 + y = 3x2 ,
R;
y 0 + 2xy 2 = 0,
R;
yy 0 = −x,
h−2, 2i.
1.2. Sprawdzić, że dla każdego C ∈ R podane funkcje są rozwiązaniami wskazanych równań różniczkowych,
a następnie znaleźć rozwiązania spełniające zadane warunki początkowe:
(a) y(x) = x + C,
y 0 = 1,
y(0) = 0;
(b) y(x) = Cex ,
y 0 = y,
y(1) = −1;
1
y 0 + 2y = ex , y(0) = 1;
(c) y(x) = Ce−2x + ex ,
3
√
xy + 1
(d) y(x) = x + C x2 + 1, y 0 = 2
, y(0) = 0.
x +1
♦ Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
1.3. Rozwiązać podane równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych:
(a) y 0 = 2xy;
(b) (x − 1) · (x − 5) · y 0 − (y + 2) = 0; (c)
dy
dy
dy
x · (y 2 − 1)
(d) y − x ·
= 3 − 2 · x2 ·
; (e)
=
;
(f )
dx
dx
dx
2 · (x − 2) · (x − 1)
0
2
(g) y = 2xy ;
(j)
y 0 = 1 + x + y + xy;
2
2
0
y − (x − 2)y 0 = 0;
ex+y y 0 = 1;
√ 0 q
2 xy = 1 − y 2 ;
(h) x(y − 1) + y(x − 1)y = 0;
(i)
(k) y 0 + 4y = y(e−x + 4);
(l)∗ sin y 0 = x.
1.4. Rozwiązać podane zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych:
(a) (1 − x2 ) · y 0 + x · y = 2 · x, y(0) = 4;
dy
sin(x + y)
π
=1−
, y
dx
sin y · cos x
4
π
= e;
(d) y 0 sin x = y ln y, y
2
(b)
dy
= y 3 · sin x, y(0) = 0;
dx
√
√
(e) x 1 − y 2 + y 1 − x2 y 0 = 0, y(0) = 1; (f )
(c)
(g) (1 + y 2 )y 0 = y cos x, y(0) = 1;
(i)
y
x(y + 1)y 0 = y, y(e) = 1;
(h) y 0 = y 2 (1 + x2 ), y(0) = −2;
0
e (y − 1) = 1, y(0) = 0
(j)
1
1 + y2
y =
, y(1) = −1.
1 + x2
0
=
π
;
4
Budownictwo, semestr II
rok ak. 2008/2009
Matematyka
♦ Równania różniczkowe jednorodne względem zmiennych
1.5. Rozwiązać podane równania różniczkowe jednorodne:
!
y
y
dy
(b) sin
x·
− y = x · cos
;
x
dx
x
dy
(c) (2x − y)y 0 = (x + 2y);
(d) x
+ y · ln x = y · ln y;
dx
√ 2
y2
x + y2 − x
dy
−
(e) 2xyy 0 = (x2 · e x2 + 2y 2 ); (f )
=
, x > 0;
dx
y
√
y
dy
= x · tg
+ y;
(h) xy 0 = x2 − y 2 + y;
(g) x
dx
x
dy
= 3y;
(a) (3x − 2y) ·
dx
(i)
xy 0 + x − y = 0;
(k) x2 y 0 = xy + y 2 ;
(j)
x2 − y 2 + xyy 0 = 0;
(l)
dy
2xy
= 2
.
dx
x − y2
1.6. Rozwiązać podane zagadnienie początkowe:
dy
2x − y
=
, y(1) = 1
dx
x + 4y
√
dy
y − x2 + y 2
(b)
=
, y(4) = 3;
dx
x
1
(c) xy 0 = x + y, y(1) = 0.
2
1.7. Rozwiązać podane równania różniczkowe:
(a)
dy
= (4x + y + 2)2 , y(1) = 1
dx
dy
(b)
= sin2 (3x − 3y + 1);
dx
(a)
(c) y 0 = (9x − y)2 .
2