1. Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny i jego własności – przykładowe zadania maturalne.
Teoria:
Df. Ciąg (an) nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeśli różnica an+1 - an jest stała (nie zależy od n). Wartość tej
różnicy oznaczamy literą r i nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
Tw.1 Jeżeli (an) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to an=a1+(n-1)r dla każdego nN+
Tw.2 Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym, wtedy gdy każdy wyraz oprócz pierwszego jest średnią arytmetyczną
a  a n 1
wyrazów sąsiednich: a n  n 1
2
Przykład do Tw.2:
Wiedząc, że w ciągu arytmetycznym a28+a30=50, oblicz a29
a  a 30 50
Rozwiązanie: a 29  28

 25
2
2
Odp. a29=25
Sn – suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
S1=a1
S2=a1+a2
S3=a1+a2+a3
…
Sn=a1+a2+a3+…+an
a  an
(2a1  (n  1)r )n
Tw. Jeśli (an) jest ciągiem arytmetycznym i Sn=a1+a2+a3+…+an, to S n  1
 n lub S n 
2
2
Monotoniczność ciągu arytmetycznego
Ponieważ an+1-an=r, więc:
- jeśli r>0, to ciąg arytmetyczny (an) jest rosnący,
- jeśli r<0, to ciąg arytmetyczny (an) jest malejący,
- jeśli r=0, to ciąg arytmetyczny (an) jest stały .
Zad.1.
Liczby x-1, 4 i 8 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego.
Wyznacz x.
Na podstawie Tw.2 mamy:
4=
4=
/∙ 2
8= +7
=1
Odp. Liczba x=1.
Zad.2.
W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz jest równy 14, a jedenasty jest równy 34. Wyznacz wyraz pierwszy
i różnicę tego ciągu.
Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu an=a1+(n-1)r dla każdego nN+ mamy:
=
=
+2
+ 10
14 =
34 =
+2
+ 10
= 14 − 2
34 = 14 − 2 + 10
= 14 − 2
20 = 8
= 14 − 2
20
=
8
5
2
=
= 14 − 2
1
2
1
2
1
= 11
2
=2
Odp. Wyraz pierwszy tego ciągu jest równy
= 11 , a różnica
=2 .
Zad.3.
Suma ciągu arytmetycznego jest określona wzorem Sn=3n2+6n. Wyznacz drugi wyraz tego ciągu.
=
=
+
−
Z zadania mamy:
=3∙1 +6∙1 =3+6 =9
= 3 ∙ 2 + 6 ∙ 2 = 12 + 12 = 24
−
Zatem:
= 24 − 9 = 15
= 15
Odp. Drugi wyraz tego ciągu jest równy 15.
=