PDF - Bramy Nauki

Spis treści
Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Podstawowe oznaczenia i skróty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Elementy formalnej teorii grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
2.
Grupy punktowe
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
3.
........................................................................
22
23
25
29
31
33
36
39
40
42
43
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45
Grupy kwadratowych macierzy nieosobliwych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Macierze punktowych transformacji współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Niektóre specjalne rodzaje macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Iloczyn skalarny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
47
51
53
Teoria reprezentacji liniowych
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
11
12
12
14
16
16
18
18
19
20
20
Przykłady grup Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grupy Cnv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grupy Cnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grupy Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grupy Dnd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grupy Dnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grupy S2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Punktowe grupy sześcienne (czworościanu, sześcianu, ośmiościanu) . . . . . .
Punktowe grupy dwudziestościanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grupy ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grupy macierzy
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
4.
Grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Podstawowe właściwości grup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Przykłady grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Podgrupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rząd elementu, grupy cykliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elementy sprzężone i klasy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Podgrupa niezmiennicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grupa ilorazowa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Homomorfizm i izomorfizm grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Właściwości homomorfizmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Iloczyn kartezjański grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
9
11
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57
Reprezentacja grupy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Przykłady reprezentacji. Reprezentacja grupy symetrii równania
Schrödingera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reprezentacje przywiedlne i nieprzywiedlne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pierwszy lemat Schura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
58
61
65
6
Spis treści
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
5.
Iloczyny proste reprezentacji
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
6.
6.8.
6.9.
Reprezentacje nieprzywiedlne iloczynu kartezjańskiego grup . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kartezjański (kroneckerowski) iloczyn reprezentacji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Symetryzowany i antysymetryzowany iloczyn reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funkcje bazowe reprezentacji nieprzywiedlnych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Twierdzenie Wignera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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84
86
91
93
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Teoria zaburzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wykorzystanie teorii grup w problemach spektroskopii oscylacyjnej . . . . . . . .
Budowa współrzędnych symetryzowanych (współrzędnych symetrii) . . . . . .
Reguły wyboru dla widm IR i ramanowskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oddziaływania międzymolekularne w widamch spektralnych . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wyznaczenie kształtu molekuł . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reguły wyboru dla częstotliwości składanych. Warunek rezonansu
Fermiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektronowe widma absorpcyjne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Klasyfikacja stanów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
102
109
127
134
138
140
146
148
160
Reakcje elektrocykliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Przegrupowania sigmatropowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reakcje cykloaddycji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Uogólnienie. Reakcje perycykliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
174
178
183
Elementy teorii reprezentacji grup ciągłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
9.
82
Symetria i reaktywność związków organicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
8.
66
68
71
74
75
77
......................................................
Wykorzystanie teorii reprezentacji grup skończonych
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
7.
Drugi lemat Schura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relacje ortogonalności. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Charaktery reprezentacji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reprezentacja regularna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Liczba nierównoważnych reprezentacji nieprzywiedlnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Obliczenie charakterów reprezentacji nieprzywiedlnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Określenie, przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dwuwymiarowe grupy obrotów i odbić . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reprezentacje nieprzywiedlne trójwymiarowej grupy obrotu . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wyprowadzenie reprezentacji nieprzywiedlnych grupy O(3)
z wykorzystaniem operatorów nieskończenie małych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wykorzystywanie teorii grupy SO(3) w teorii atomów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dodatek. Tablice charakterów grup punktowych
..........................
189
195
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211
215
223
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234