Zadania z Matematycznych Podstaw Logistyki 2

Zadania
z Matematycznych Podstaw Logistyki 2
Zadanie 1. Znaleźć rozwiazanie
˛
problemu (n = 2)
0
1
ẋ (t) =
x (t) ,
−2 −3
x (0) = x0
Zadanie 2. Znaleźć rozwiazanie
˛
problemu (n = 2)
−1 −1
ẋ (t) =
x (t) ,
2 −4
x (0) = x0
Zadanie 3. Znaleźć rozwiazanie
˛
problemu (n = 3)


1 0 −1
1  x (t) ,
ẋ (t) =  1 2
2 2
3
x (0) = x0
Zadanie 4. Znaleźć rozwiazanie
˛
układu (n = 2, m = 1)
−1 −4
1
ẋ (t) =
x (t) +
u (t) ,
−1 −1
1
1
spełniajace
˛ warunek poczatkowy
˛
x (0) =
i odpowiadajace
˛ sterowaniu u (t) = e2t ,
2
t ≥ 0.
Zadanie 5 (model pojazdu). Pokazać w oparciu o formuł˛e Cauchy’ego, że rozwiazaniem
˛
równania
0 1
0
ẋ (t) =
x (t) +
u (t) ,
0 0
1
p0
spełniajacym
˛
warunek poczatkowy
˛
x (0) =
jest funkcja
v0

x (t) =
p (t)
v (t)
Rt
 p0 + v0 t + (t − s) u (s) ds

0
=
Rt

v0 + u (s) ds



.

0
Zadanie 6 (ilustracja uwagi (2.1.4)). Rozważmy nat˛epujacy
˛ układ nieautonomiczny (n = 2, m = 1)
ṗ (t)
0
a1,2 (t)
p (t)
v1 ( t )
=
+
,
q̇ (t)
a2,1 (t)
0
q (t)
v2 ( t )
1
− (1 − t ) 0 ≤ t < 1
1−t 0 ≤ t < 1
,a =
,
gdzie: a1,2 =
0
1 ≤ t < ∞ 2,1
0
1≤t<∞
0
0≤t<1
, u (.) ∈ U .
v1 (t) = 0, dla 1 ≤ t < ∞ oraz v2 (t) =
(u(t) − 2) (t − 1o) 1 ≤ t < ∞
n
Pokazać, że ϕ = l =
c · sin 12 , c · cos 12 ∈ R2 : c > 0 .
Zadanie 7. Znaleźć zbiór sterowalności dla układu (n = 2, m = 1)
ṗ (t) = p (t) + u (t)
.
q̇ (t) = q (t) + u (t)
Zadanie 8. Znaleźć zbiór sterowalności dla układu (n = 2, m = 1)
0 1
1
ẋ (t) =
x (t) +
u (t) .
0 0
0
Zadanie 9. Pokazać, że dla układu (n = 2, m = 1)
ṗ (t) = p (t) + u (t)
q̇ (t) = q (t) + u (t)
0∈
/ Int ϕ.
Zadanie 10. Dla jakich a, b, c, dla układu (n = 3, m = 1)


 
0
1
0
a



1 x + u (t) b 
ẋ = 0 −1
0
0 −1
c
ϕ = R3 .
Zadanie 11. Pokazać, że jeśli sterowania u1 (.) , u2 (.) ∈ Um sa˛ dwoma różnymi sterowaniami
typu bang-bang, to sterowanie 12 u1 (.) + 21 u2 (.) nie jest typu bang-bang.
Zadanie 12. Pokazać, że w modelu pojazdu ϕ = R2 .
Zadanie 13. Pokazać, że w modelu pojazdu dla dowolnego punktu startowego x0 istnieje
sterowanie czaso-optymalne typu bang-bang z co najwyżej jednym przełaczeniem
˛
przeprowadzajace
˛ układ z punktu x0 do celu (punktu 0).
Zadanie 14 (model wahadła). Pokazać normalność układu (n = 2, m = 1)
α̇ (t)
0 1
α̇ (t)
0
=
+
u (t) .
ω̇ (t)
−1 0
ω̇ (t)
1
Zadanie 15. Pokazać, że istnieje sterowanie ekstremalne, które nie jest dopuszczalne.
Zadanie 16. Pokazać, że jeśli
| f (t, x, u)| ≤ β | x | + γ
dla x ∈ Rn , gdzie β, γ ≥ 0 (o funkcji f przyjmujemy założenia poczynione na poczatku
˛
wykładu), to istnieje stała c ∈ R, że
| x (t, x0 , u (.))| ≤ c
dla u (.) ∈ ∆ ( T ) , t ∈ [0, tu ] .
2
Zadanie 17. Pokazać, że dla modelu pojazdu dla dowolnego punktu startowego x0 istnieje
jednoznaczne sterowanie czaso-optymalne typu bang-bang i kawałkami stałe przeprowadzajace
˛ układ z punktu x0 do celu (punktu 0).
Zadanie 18. Pokazać, że dla modelu wahadła dla dowolnego punktu startowego x0 istnieje
sterowanie czaso-optymalne typu bang-bang i kawałkami stałe przeprowadzajace
˛ układ z
punktu x0 do celu (punktu 0).
Zadanie 19. Rozważmy układ
ẋ (t) = a · x (t) + u (t) ,
gdzie: T (.) ≡ {1} , a < 0, m = n = 1.
Pokazać, że dla dowolnego punktu startowego x0 istnieje sterowanie czaso-optymalne
typu bang-bang i kawałkami stałe przeprowadzajace
˛ układ z punktu x0 do celu (punktu 0).
Zadanie 20. Rozważmy problem skalarny
ẋ = u,
x (0) = 0,
gdzie: T (.) ≡ {0} , u ∈ U = {u (.) : u (.) jest mierzalna i 0 ≤ u (t) < ∞}, J (u (.)) =
R tu
2
0 | x ( s )| ds ≥ 0.
Pokazać, że problem ten nie posiada rozwiazania
˛
optymalnego.
Marek Majewski,
Łódź, 12 stycznia 2013.
3