Matematyka Dyskretna (Egzamin)
Transkrypt
Matematyka Dyskretna (Egzamin)
Matematyka Dyskretna (Egzamin) Jarosław Grytczuk 1. (1p.) Ile 3-kolorowych choragiewek można utworzyć dysponujac ˛ ˛ 6 kolorami? 2. (1p.) Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania ”koloru” (5 kart w tym samym kolorze) w pokerowym rozdaniu talii 24 kart? 3. (3p.) Ile jest najkrótszych dróg w kracie 5 × 8? Narysować droge˛ 1001101000100. Narysować dowolna˛ droge, odpowiadajac ˛ a˛ ciagowi ˛ ˛ a nastepnie napisać kodujacy ˛ ˛ ja˛ ciag ˛ binarny. 4. (2p.) Ile rozwiaza ˛ ń w nieujemnych liczbach całkowitych ma równanie x1 + x2 + x3 = 13? Narysuj odpowiednia˛ krate. ˛ 5. (2p.) W kolejce do kina stoi 20 osób, które sa˛ wpuszczane do kina grupami (kolejność osób w kolejce nie zmienia sie). ˛ Na ile sposobów można utworzyć 6 niepustych grup przy wpuszczaniu osób do kina? Odpowiedź uzasadnij. ¡ ¢ ¡ ¢ ¡n−1¢ + k−1 stosujac 6. (1p.) Uzasdnić wzór nk = n−1 ˛ metode˛ dróg w k kracie. 7. (1p.) Stosujac ˛ rozwiniecie ˛ dwumianu (x + y)n , wykazać, że suma współczynników dwumianowych n-tego wiersza Trójkata ˛ Pascala n wynosi 2 . 8. (2p.) Wykazać, że 1 + 4 + 9 + 16 + ... + n2 = 1 n(n + 1)(2n + 1) . 6 9. (2p.) Dla permutacji 5, 3, 7, 6, 4, 10, 8, 9, 1, 2 sporzadzić tabelke˛ ˛ Erdősa (Przykład 34). Znaleźć monotoniczny podciag ˛ długości 4. 10. (1p.) Narysuj krzywa˛ zamkniet kodzie Gaussa: ˛ a˛ o nastepuj ˛ acym ˛ ECBDABCADE. 11. (1p.) W pewnym klubie jest 20 osób grajacych w szachy, 15 gra˛ jacych w brydża i 13 grajacych w pokera. Spośród nich 7 gra w ˛ ˛ szachy i brydża, 6 w brydża i pokera, 5 w szachy i pokera, a tylko 3 graja˛ we wszystkie te gry. Ile osób jest w tym klubie? 12. (1p.) Narysować graf G = (V, E), gdzie V = {1, 2, ..., 10} i ab ∈ E wtedy i tylko wtedy, gdy a | b lub b | a. X = {1, 2, 3, 4, 5}. Narysować graf G = (V, E), gdzie 13. (2p.) ¡Niech ¢ V = X2 i AB ∈ E wtedy i tylko wtedy, gdy A ∩ B = ∅. Pokazać, że G jest izomorficzny z grafem Petersena. 14. (1p.) Znajdź cykl Hamiltona w dodecahedronie. 15. (1p.) Wyznaczyć wszystkie spójne indukowane podgrafy grafu Q3 (z dokładnościa˛ do izomorfizmu). 16. (2p.) Stusujac ˛ wzór Eulera pokazać, że jeśli |V (G)| ≥ 11, to oba grafy G i G nie moga˛ być jednocześnie planarne. 17. (1p.) Niech G bedzie grafem planarnym, którego wszystkie wierz˛ chołki leża˛ na wspólnej (zewnetrznej) ścianie. Pokazać, że χ(G) ≤ ˛ 3. 18. (2p.) Na brzegu koła znajduje sie˛ n punktów połaczonych wszys˛ tkimi możliwymi odcinkami. Punkty sa˛ tak rozmieszczone, że żadne trzy odcinki nie przecinaja˛ sie˛ w jednym punkcie wewnatrz ˛ koła. Wykorzystujac ˛ wzór Eulera pokazać, że koło rozpadnie sie˛ na µ ¶ µ ¶ n n 1+ + 2 4 kawałki. 19. (2p.) Niech G = (V, E) bedzie dowlonym grafem takim, że V ⊂ R2 ˛ uiv i uv ∈ E wtedy i tylko wtedy, gdy długość odcinka łacz ˛ acego ˛ wynosi 1. Pokazać, że 4 ≤ χ(G) ≤ 7. 2 20. (1p.) Niech M bedzie skojarzeniem pokazanym na rysunku poniżej. ˛ Znaleźć ścieżke˛ naprzemienna˛ dla M zaczynajac ˛ a˛ sie˛ w wierzchołku 2. 21. (1p.) Wykazać, że χ0 (K2k ) = 2k − 1. 22. (1p.) Podany prostokat ˛ łaciński 3 × 5 rozszerzyć do kwadratu łacińskiego 5 × 5, stosujac ˛ Twierdzenie Halla. 12345 P = 5 4 2 3 1 21453 23. (1p.) Ze zwykłej talii kart wyjać ˛ zestaw 16 kart składajacy ˛ sie˛ z figur Walet, Dama, Król i As, we wszystkich czterech kolorach. Ułożyć te karty w kwadrat 4 × 4 tak, aby każdy rzad ˛ zawierał dokładnie jedna˛ karte˛ każdej maści i każdego koloru. Punktacja: 33-31, bdb 30-28, db+ 27-25, db 24-22, dst+ 21-19, dst 18-0, ndst Czas: 120 minut 3