TEORIA GIER – 6 Najlepsze odpowiedzi ZD1. Dla podanej obok gry

TEORIA GIER – 6
Najlepsze odpowiedzi
ZD1. Dla podanej obok gry:
(a) Sprawdź, czy σ1 = 13 A + 13 B + 13 D jest najlepsza, odpowiedzia, na
strategie, P.
(b) Wyznacz wszystkie najlepsze odpowiedzi na strategie, C.
(c) Wyznacz wszystkie najlepsze odpowiedzi na strategie, σ1 = 25 B + 35 D.
ZD2. W podanej obok grze wyznacz wszystkie najlepsze
odpowiedzi σ2 drugiego gracza na strategie, σ1 = 0,6s2 + 0,4s3 .
s1
s2
s3
s4
L
S
P
A (0, -2) (0, 1) (3,-1)
B (-2, 1) (1, -2) (2,-1)
C (1, 1) (-2, 1) (1,0)
D (-1, 1) (-3, 3) (3,0)
t1
t2
t3
(0, 0) (2, -2)
(-3, 3)
(-1,1) (-15, 15) (15,-15)
(-5,5) (15, -15) (-30, 30)
(0, 0) (-3, 3)
(4, -4)
t4
(0, 0)
(-3,3)
(-1,1)
(0, 0)
ZD3. Rozważmy gre, w papier-nożyczki-kamień.
(a) Czy strategia (2/3, 1/3, 0) gracza 1 jest najlepsza, odpowiedza, na σ2 = (1/3, 2/3, 0) ?
(b) Znajdź wszystkie najlepsze odpowiedzi gracza 2 na strategie, σ1 = 31 P + 32 N .
(c) Czy σ1 = 13 P + 23 N jest najlepsza, odpowiedzia, na każda, strategie, σ2 ∈ conv {N, K}?
(d) Czy σ1 = 13 P + 23 N jest najlepsza, odpowiedzia, na jaka,kolwiek strategie, σ2 ∈ conv {N, K}?
ZD4. Obok podana jest macierz wyplat W1 .
(a) Uzasadnij, że s1 , s2 , s3 ∈ Mbest
1 .
,
a ponadto żadna strategia z Mbest
nie ma s4 w
(b) Uzasadnij, że s4 ̸∈ Mbest
1
1
swoim nośniku.
(c) Zalóżmy, że σ ∈ M1 i supp σ = {s1 , s2 , s3 }. Czy istnieje strategia mieszana
drugiego gracza, na która, najlepsza, odpowiedzia, jest σ ?
Wskazówka: Można korzystać z wlasności podanych na wykladzie.
s1
s2
s3
s4
t1 t2 t3
0 0 -1
-2 1 0
1 -2 1
- 34 - 34 0
ZD5. Korzystaja,c z metod graficznych,
(a) wyznacz dwoma sposobami Mbest
dla podanych i w poniższych grach. Drugi sposób powinien
i
korzystać z faktu, że w grze dwumacierzowej Mbest
= Mndom
.
i
i
(b) wyznacz wszystkie najlepsze odpowiedzi gracza i na strategie, przeciwnika ( 32 , 13 ) oraz wszystkie
najlepsze odpowiedzi na strategie, czysta, przeciwnika (0, 1). W przeciwieństwie do poprzednich
zadań, należy odczytać je na podstawie rysunku.
(1) i = 1,
L
P
A (1,0) (-1,1)
B (-1,1) (1,2)
C (2,0) (-2,6)
D (-2,1) (2,5)
E (4,1) (-6,-1)
F (-3,-2) (1,0)
(2) i = 2,
(3) i = 1,
X
Y
Z
G (0,-1) (0,2) (1,5)
D (2,3) (1,-2) (-1,-8)
L
P
A
(0,0)
(0,0)
B
(2,4)
(-4,-2)
C (-2,-2)
(4,1)
D (-4,-2)
(4,3)
E (-7,3)
(6 12 ,0)
F (-6 12 ,-2) (6 21 ,-1)
ZD6. Lisek Chytrusek dostal za zadanie wyznaczyć Mbest
w grze po2
danej obok w postaci strategicznej. Lisek zrobil tak: usuna,l strategie,
zdominowana, S, zastosowal metoda, graficzna, dla zredukowanej gry 2×n
i odczytal z niej odpowiedź:
Mbest
= {A, C, D} ∪ {σ ∈ M2 : supp σ = {A, D} lub supp σ = {C, D}}.
2
Czy rozwia,zanie Liska jest poprawne?
1
A
B
C
D
G (-1,-1) (1,-1) (2, 2) (0,0)
S (0, 0) (-1, 2) (-1, 1) (0,0)
D (2, 2) (0, 0) (-3,-3) (1,1)
2
ZD7. Obok podana jest macierz wyplat W2 . Wyznacz
L S P
(a) wszystkie najlepsze odpowiedzi σ2 na strategie, σ1 = 12 A + 21 B.
A
6 0 1
(b) zbiór Mbest
2 .
B 0 6 1
(c) zbiór wszystkich strategii pierwszego gracza, na które najlepsza, odpowiedzia, jest
C 2 0 1
jakaś strategia o nośniku {L, S}.
(d) zbiór wszystkich strategii pierwszego gracza, na które najlepsza, odpowiedzia, jest
jakaś strategia o nośniku {L, S, P }.
ZD8. Oceń poprawność poniższych stwierdzeń. Jeśli jest prawdziwe, to je udowodnij, nie korzystaja,c
z wlasności (NO1)–(NO6). Jeśli jest nieprawdziwe – podaj kontrprzyklad i uzasadnij jego poprawność.
(a) Zalóżmy, że w grze dwumacierzowej σ1 ∈ M1 jest strategia, o nośniku {s, s′ } oraz s, s′ ∈ Mbest
1 .
best
Wtedy σ1 ∈ M1 .
(b) Zalóżmy, że w grze dwumacierzowej strategia σ1 ∈ M1 jest najlepsza, odpowiedzia, na σ2 ∈ M2 .
Wtedy σ1 jest najlepsza, odpowiedzia, na każda, strategie czysta, z nośnika σ2 .
(c) Zalóżmy, że w grze dwumacierzowej strategia σ1 ∈ M1 jest najlepsza, odpowiedzia, na dwie
strategie czyste s2 , s′2 ∈ S2 . Wtedy σ1 jest najlepsza, odpowiedzia, na każda, strategie mieszana, o
nośniku {s2 , s′2 }.
(d) Zalóżmy, że w grze dwumacierzowej strategie s, t, u ∈ S2 sa, najlepszymi odpowiedziami na
σ1 ∈ M1 . Wtedy każda strategia σ2 ∈ conv {s, t, u} jest najlepsza, odpowiedzia, na σ1 .
(e) Zalóżmy, że w grze dwumacierzowej nośnikiem strategii σ1 ∈ M1 jest {s, s′ } i obie strategie
s, s′ daja, te same wyplaty w odpowiedzi na strategie, σ2 przeciwnika. Wtedy σ1 jest najlepsza,
odpowiedzia, na σ2 .
(f) Zalóżmy, że w grze o sumie zerowej σ1 jest strategia, optymalna, gracza 1, a σ2 ∈ M2 jest
najlepsza, odpowiedzia, na σ1 . Wtedy σ2 jest strategia, optymalna, gracza 2.
ZD9.
(a) Udowodnij podana, na wykladzie wlasność, że w grze n–osobowej, jeżeli każda strategia czysta
z nośnika σi jest najlepsza, wśród startegii czystych odpowiedzia, na σ̄−i ∈ Mi , to σi jest
najlepsza, odpowiedzia, na σ̄−i .
(b) Udowodnij (również podana, na wykladzie) wlasność, że w grze n–osobowej w nośniku najlepszej
odpowiedzi nie ma żadnej strategii zdominowanej.