Zadania i problemy do wykładu Wstęp do biomatematyki (Zestaw nr

Zadania i problemy do wykładu Wstęp do biomatematyki (Zestaw nr 2)
Zadania
Zadanie 1. Rozwiąż równanie różnicowe xn+1 = 0, 5xn + 1; x0 = 2.
Zadanie 2. Rozwiąż równanie różnicowe rzędu dwa xn+2 = 0, 5xn+1 ; x0 = 1; x1 = −1.
Zadanie 3. Rozpatrzmy równanie różnicowe xn+2 − 3xn+1 + 2xn = 0.
• Wykaż, że rozwiązanie ogólne tego równania ma postać: xn = A1 + 2n A2 , gdzie A1 i A2 są
stałymi.
• Powiedźmy, ze x0 i x1 są dane. Wtedy A1 i A2 spełniają układ równań
A1 + A2
= x0
A1 + 2A2
= x1 .
Zadanie 4. Rozpatrzmy równanie różnicowe
• Wykaż, że xn+1
xn , r > 0.
xn + 1 = rxn 1 −
K
< 0 wtedy i tylko wtedy gdy xn > K.
• Wykaż, że xn+1 > K jest możliwe dla 0 < xn < K wtedy i tylko wtedy gdy r > 4.
• Podaj warunek konieczny i dostateczny na to by xn > 0 dla n = 1, 2, 3, ....
Zadanie 5. Korzystając z metody graficznej przeanalizuj rozwiązania równania różnicowego
xn+1 =
rx2n
.
x2n + A
Zadanie 6. Rozpatrzmy następujący model wchłaniania lekarstwa:
an+1 = an − kan + b,
gdzie an oznacza ilość lekarstwa w krwioobiegu po n dawkach aplikowanych w regularnych odstępach czasu.
• Jakie jest znaczenie parametrów k i b? Co możesz powiedzieć o ich znaku oraz wielkości?
• Wyznacz punkty stacjonarne oraz zbadaj ich stabilność poprzez linearyzację.
• Korzystając z metody graficznej przeanalizuj model. Jaka będzie ilość lekarstwa w krwioobiegu po upływie długiego czasu? W jaki sposób zależy to od parametrów modelu?
• Jak powinna być dobrana wielkość parametru b aby zapewnić efektywną ale nie toksyczną
ilość lekarstwa w krwioobiegu?
Zadanie 7. Wszystkie poniższe dyskretne modele rozwoju populacji pochodzą z literatury ekologicznej i były używane do modelowania rzeczywistych populacji. Wyznacz nieujemne stany stacjonarne, przedyskutuj ich stabilność oraz znajdź dodatnie wartości parametrów, przy których
zachodzi pierwsza bifurkacja.
Nn
,
(i) Nn+1 = Nn 1 + r 1 −
K
(ii) Nn+1
Nn+1
= rNn1−b ,
gdy Nn > K,
= rNn ,
gdy Nn < K,
(iii) Nn+1
=
(iv) Nn+1
=
rNn
,
(1 + aNn )b
rNn
1+
Nn b
K
.
Zadanie 8. Przypuszcz się, że sposobem na kontrolę liczebności owadów będących szkodnikami
jest wprowadzenie i utrzymanie w populacji pewnej liczby sterylnych owadów. Jednym z modeli
opisujących rozwój takiej populacji ma następującą postać:
Nn+1 = f (Nn ) = R0 Nn
Nn
1
,
Nn + S 1 + aNn
gdzie R0 > 1, a > 0 natomiast S jest stałą liczbą sterylnych owadów w populacji. Wielkość S
podlega naszej kontroli, co umożliwia sterowanie rozwojem populacji w taki sposób, aby osiągnąć
założony cel.
(a) Wyjaśnij co w modelu opisuje wielkość
Nn
Nn +S .
(b) Wyprowadź równanie, które spełnia stan równowagi N ∗ i narysuj wykres funkcji opisującej
zależność N ∗ od S.
(c) Wyznacz Sk , najmniejszą wartość S prowadzącą do wyginięcia populacji owadów.
(d) Korzystając z metody graficznej przedstaw co się stanie z populacją gdy S < Sk oraz gdy
S > Sk .
Zadanie 9. Liczebność populacja pewnego gatunku będącego ofiarami pewnego drapieżnika jest
modelowana przez równanie różnicowe
Nn+1 = a
Nn2
,
b2 + Nn2
a > 0.
Znajdź punkty równowagi oraz pokaż, że jeśli a2 > 4b2 to możliwe staje się wyginięcie populacji,
jeśli jej liczebność jest mniejsza niż pewna wartość krytyczna N ∗ . Określ wartość N ∗ .
Zadanie 10. Zadanie dotyczy złożenia f 2 (x) odwzorowania logistycznego f (x) = rx(1 − x).
• Podaj postać odwzorowania f 2 (x).
• Wyznacz punkty stacjonarne odwzorowania f 2 (x). Sprawdź, że nietrywialny cykl rzędu 2
pojawia się tylko gdy r > 3.
√
d 2
f (x). Sprawdź, że nietrywialny cykl rzędu 2 jest stabilny gdy 3 < r < 1 + 6 i
• Policz dx
√
niestabilny gdy r > 1 + 6.
Zadanie 11. Zadanie dotyczy złożenia f 4 (x) odwzorowania logistycznego f (x) = rx(1 − x).
• Narysuj wykres odwzorowania f 4 (x) dla różnych wartości parametru r. porównaj otrzymane
wykresy z odpowiednimi wykresami odwzorowań f (x) i f 2 (x).
• Dla jakiej wartości parametru r pojawia się cykl rzędu 4?
• Dla jakich wartości parametru r cykl rzędu 4 staje się niestabilny.
Krzysztof Topolski