Warsztat pracy matematyka

Warsztat pracy matematyka
Autor : Dorota Blinkiewicz
Zatwierdził : Piotr Rzonsowski
Zadanie 1. Wyznacz A ∪ B, A ∩ B, A \ B oraz B \ A dla następujących przedziałów:
A = (−∞ ; 2],
B = (2 ; ∞).
Rozwiązanie: Zacznijmy od narysowania tych przedziałów na osi liczbowej.
Rysunek 1. Przedziały A oraz B.
Sprawdźmy jakie nierówności spełniają liczby będące końcami przedziałów A oraz B:
−∞
lewy koniec A
<
2
=
prawy koniec A
2
lewy koniec B
<
∞
prawy koniec B
(1)
Zauważmy, że prawy koniec przedziału A oraz lewy koniec przedziału B są liczbami równymi, więc pomiędzy tymi przedziałami nie istnieje żadna liczba (nie ma pomiędzy nimi przerwy/„dziury”/„luki”). Ponadto widzimy, że 2 ∈ A, ale 2 < B, przedziały te znajdują się obok
siebie.
Wyznaczmy teraz sumę przedziałów A oraz B. Zacznijmy więc od przypomnienia definicji:
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Jak już powyżej zauważyliśmy pomiędzy tymi zbiorami nie istnieje żadna liczba. Ponadto przedział A składa się z wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych bądź równych 2, a przedział
B składa się z wszystkich liczb rzeczywistych większych od 2. Suma tych przedziałów będzie
całym zbiorem liczb rzeczywistych. Zatem:
A ∪ B = (−∞ ; 2] ∪ (2 ; ∞) = {x : x ∈ (−∞ ; 2] ∨ x ∈ (2 ; ∞)} = (−∞ ; ∞) = R.
Można oczywiście odczytać sumę przedziałów A i B z rysunku 1 — sumą jest ten zbiór, który
obejmuje oba kolory, tzn. zielony i śliwkowy — rysunek 2.
Rysunek 2. Suma przedziałów A oraz B, A ∪ B = R
Teraz zajmiemy się przekrojem przedziałów A i B. Na wstępie zapiszemy oczywiście dla
przypomnienia formalną definicję:
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Osoby które przyczyniły się do powstania powyższych materiałów: Piotr Rzonsowski, Dorota Blinkiewicz, Izabela Bondecka-Krzykowska, Marcin Borkowski.
1
Jak już na początku zauważyliśmy 2 ∈ A, ale 2 < B oraz dwójka jest jedynym punktem, w którym
te przedziały się „stykają”. Zatem przekrojem tych zbiorów jest zbiór pusty:
A∩B=∅
(2)
Korzystając z rysunku 1, przekrojem jest ten przedział, który pomalowany jest kolorem zielonym
i śliwkowym jednocześnie — zatem takiego przedziału na naszym rysunku nie ma.
Teraz zajmiemy się jedną z różnic. Najpierw wyliczymy A \ B. Nim jednak przystąpimy do
obliczeń — przypomnijmy definicję:
A \ B = {x : x ∈ A ∧ x < B}.
Są to zatem tylko te elementy, które należą do zbioru A a nie należą do zbioru B. Inaczej mówiąc
są to te elementy, które należą do zbioru A i nie należą do przekroju A∩B. Czyli A\B = A\(A∩B).
Pamiętamy, że A ∩ B = ∅ (2). Zatem od zbioru A odejmujemy zbiór pusty, czyli zbiór A pozostaje
taki jaki był:
A \ B = A.
Chcąc pomóc sobie rysunkiem 1 w rozwiązywaniu tego problemu, poszukujemy na nim zbioru,
który jest pomalowany tylko kolorem zielonym — rysunek 3.
Rysunek 3. Różnica przedziałów A oraz B, A \ B = A = (−∞ ; 2]
Została nam już tylko do wyznaczenia różnica zbiorów B \ A. Wykorzystamy ten sam argument co wykorzystaliśmy licząc A \ B.
B \ A = B \ (A ∩ B) = B \ ∅ = B = (2 ; ∞).
Żeby rozwiązać powyższy problem korzystając z rysunku 1, poszukujemy takich fragmentów,
które są pokryte tylko kolorem śliwkowym — rysunek 4.
Rysunek 4. Różnica przedziałów B oraz A, B \ A = B = (2 ; ∞)
Osoby które przyczyniły się do powstania powyższych materiałów: Piotr Rzonsowski, Dorota Blinkiewicz, Izabela Bondecka-Krzykowska, Marcin Borkowski.
2