Zestaw V

Zestaw V
Zadanie 2 (1 punkt)
Marcin Abram
e-mail: [email protected]
http://th.if.uj.edu.pl/~abram/
25 marzec 2013 r.
Układ o temperaturze T otrzymał ciepło dQ z otoczenia o temperaturze T0 T . Jak zmieniła się entropia dS
układu? Ile entropii wyprodukowano podczas tego procesu? Załóż, że temperatura układu pozostała niezmieniona.
Komentarze i uzupełnieni
do poprzedniego zestawu
Podpowiedź: Nad układem nie wykonano żadnej pracy. Stan układu zmienił się tylko na skutek przekazanego
ciepła: dU dQ.
W zadaniu 5 (ii) napisaliśmy, że dla gazu doskonałego
jego entropia wynosi:
Zadanie 3 (1 punkt)
ncV ln T
S
nR ln V
const.
Dwa rodzaje gazu doskonałego o tym samym ciśnieniu
p i o tej samej temperaturze T umieszczono w dwóch częściach pudełka, rozdzielonych nieprzepuszczalną przegrodą. Następnie, usunięto przegrodę i gazy wymieszały się.
Pokaż, że po usunięciu przegrody entropia układu wzrosła
o wartość:
(1)
Następnie napisałem Wam, że uwzględniając poprawki
kwantowe dostajemy tzw. wzór Sackura-Tetrodego:
S
5
nR
2
V n0
nR ln
V0 n
T
T0
3
2
.
(2)
∆S
R
n1 ln
n1
n1
n2
n2 ln
n2
n1
n2
,
gdzie T0 , V0 i n0 to pewne stałe o wymiarach kolejno tem- gdzie n1 oznacza liczbę moli pierwszego gazu, a n2 liczbę
peratury, objętości i moli . Zapomniałem jednak dodać, moli drugiego gazu. Załóż, że po wymieszaniu się gazów
że wzór (2) jest zapisany dla gazu monoatomowego. Wte- temperatura i ciśnienie układu pozostały niezmienione.
3{2
dy tylko bowiem
nR ln V
mamy S nR ln T
z (1)
3
const. i wzory (1) oraz (2) skalują Podpowiedź: Wygodnie posłużyć się jakimś odwracalconst. nR ln V T 2
nym procesem, który mógłby przeprowadzić nam układ od
się tak samo ze względu na T i V .
stanu początkowego do końcowego. Zmiana entropia dla
tak policzonego układu powinna być równa zmianie entropii dla układu z zadania. Co więcej, skoro taki proces
Zadanie 0 [domowe: ] (1 punkt)
jest odwracalny, możne łatwiej będzie policzyć przypadek,
Oblicz sprawność cyklu Diesla lub Joule’a.
w którym separujemy gaz uprzednio wymieszany. Przykładowo można w tym celu rozważyć użycie półprzepuszczalnych ścianek (jeden rodzaj ścianek przepuszcza cząsteczki
Zadanie 1 (1 punkt)
pierwszego gazu, ale nie drugiego, natomiast drugi rodzaj
Wyznacz potencjał chemiczny monoatomowego gazu ścianek odwrotnie), które sprawią, że będzie można cały
proces separacji przeprowadzić w sposób kwazistatyczny i
doskonałego.
odwracalny.
Podpowiedź: Uzyj wzoru Sackura-Tetrodego (równanie
2) oraz relacji Gibbsa-Duhlema:
SdT
XdY
¸
ni dµi
0,
Zadanie 4 (1 punkt)
Transformacja Legendre’a funkcji:
(3)
i
f
f px1 , . . . , xn q,
dla
df
n
¸
i 1
yi dxi ,
gdzie S to entropia, Y reprezentuje pewną siłę termodynamiczną taką jak ciśnienie, pole magnetyczne lub elek- nazywamy pewną funkcję:
tryczne, X to sprzężone z tą siłą przesunięcie termodynan
¸
miczne, ni to zmiana liczby cząstek określonego rodzaju,
g g px1 , . . . , xr , yr 1 , . . . , yn q f xi yi ,
a µi to potencjał chemiczny. ni i µi wprowadzamy,
by
móc
ir 1
°
uwzględnić przepływ materii; dZ i µi dni .
której nowymi zmiennymi niezależnymi są pochodne kie
runkowe funkcji wyjściowe, tj. yi B f {B xi . Użyteczność
Można wykazać, że n0 kB oraz V0 T 3{2 2π}2 3{2 .
0
R
mkB
transformacji Legendre’a polega na tym, że zachowuje ona
: Zadanie domowe nie jest obowiązkowe. Jednak jest warte 1
całkowitą informację o badanym układzie pozwalając jedpunkt. Zachęcam więc do jego zrobienia. Zadanie domowe można
przynieść na najbliższe ćwiczenia lub wysłać w formie elektronicznej nocześnie badać ten układ w nowych, często wygodniejszych zmiennych.
w terminie do 25 marca do godziny 1415 .
; Pierwsza zasada termodynamiki z uwzględnieniem wyrazu dZ
i) Przeprowadzając transformację Legendre’a wyprodla procesów
odwracalnych jest następującej postaci: dU T dS
°
Y dX
wadź wzory na:
i µi dni .
1
ž entalpię H pS, Y, N q oraz przyrost dH pS, Y, N q,
ž energię swobodną Helpholtza F pT, X, N q i jej
przyrost dF pT, X, N q,
ž energię swobodną Gibbsa GpT, Y, N q i jej przyrost dGpT, Y, N q,
ž wielki potencjał termodynamiczny ΦpT,X,µq i
jego przyrost dΦpT,X,µq.
Zadanie 8 (1 punkt)
Wykazać, że dla rzeczywistego gazu rozprężanie od ciśnienia p1 do p2 w taki sposób, że jego entalpia jest stała,
może powodować ochładzanie gazu (metoda skraplania).
Pokazać, że dla gazu doskonałego ochłodzenie nie jest możliwe.
Podpowiedź: W zadaniu jest mowa o efekcie Joule-Thomsona. Wynikiem powinien być wyprowadzony
współczynnik:
ii) Pokaż, że:
ž ciepło zaabsorbowane przez układ termodyna miczny w procesie zachodzącym pod stałym ciBT V pα T 1q ,
śnieniem zewnętrznym p0 jest równe zmianie enB p H Cp V
talpii tego układu,
ž praca wykonana nad układem w odwracalnym gdzie α to objętościowy współczynnik rozszerzalności temprocesie izotermicznym T0 T const. (T0 peraturowej :
1 BV
oznacza temperaturę otoczenia, zaś T temperaαV .
V BT p
turę badanego układu) jest równa zmianie energii swobodnej Helmholtza tego układu.
Literatura
Zadanie 5 (1 punkt)
[1] K. Huang, Podstawy Fizyki Statystycznej, PWN,
Warszawa, 2006.
Wyznacz:
i) entalpię hps,pq, gdzie h H {n, s S {n,
ii) energię swobodną f pT,V q, gdzie f
[2] K. Zalewski, Wykłady z mechaniki i termodynamiki
statystycznej dla chemików, Oficyna Wyd. Pol. Warszawskiej, Warszawa, 2006.
F {n,
dla gazu doskonałego. Załóż, że entropia badanego gazu
jest równa:
(4)
[3] H. Arodź, K. Rościszewski, Fizyki statystyczna i termodynamika fenomenologiczna dla studentów zaocznych, wyd.2, Wyd. Uniw. Jagiellońskiego, Kraków,
1980.
iii*) Wyznacz energię swobodna Gibbsa mieszaniny gazów doskonałych rozważanych w zadaniu 3-cim.
[4] H. Arodź, K. Rościszewski, Zbiór zadań z termodynamiki i fizyki statystycznej dla studentów zaocznych,
Wyd. Uniw. Jagiellońskiego, Kraków, 1980.
s
S
n
5
R
2
R ln
V
V0
T
T0
3
2
.
[5] A. Fronczak, Zadania i problemy z rozwiązaniami z
termodynamiki i fizyki statystycznej, Oficyna Wyd.
Pol. Warszawskiej, Warszawa, 2006.
Zadanie 6 (1 punkt)
Oblicz zależność energii wewnętrznej sprężyny od jej
wydłużenia x. Załóż, że spełnione jest prawo Hook’a dW K pT q x dx, gdzie współczynnik K pT q zależy od temperatury.
Zadanie 7 (1 punkt)
Wiedząc, że przyrost entalpii jest różniczką zupełną, pokaż że prawdziwe są tzw. relacje Maxwella:
BT BV ,
Bp
BS
S,N
p,N
BT
Bµ
BN S,p BS p,N ,
BV
Bµ .
BN S,p
Bp S,N
Wyprowadź odpowiednie relacje Maxwella związane z
energią swobodną F i G.
2