pA2q 1, n 1 T Ń0 CV pTq 0.

Zestaw X
Marcin Abram
e-mail: [email protected]
http://th.if.uj.edu.pl/~abram/
12 maja 2014 r.
Zapisz czym różnią się założenia modelu Debye’a od
założeń modelu Einsteina.
Przedstaw rozwiązanie modelu Debey’a.
Zadanie 3 (1 punkt)
Model Isinga. Rozważ izolowany układ N niezależnych
i rozróżnialnych spinów o energii E umieszczonych w zeProsty model wymiany ciepła. Rozważ układ składają- wnętrznym polu magnetycznym H. Każdy spin w badacy się z dwóch odizolowanych od siebie (nie ma przepły- nym układzie może być skierowany w kierunku zewnętrzwu energii) części: A i B, z których każda zawiera dwie nego pola magnetycznego lub przeciwnie do niego (tj.
rozróżnialne cząstki. Niech energie podukładów wynoszą si 1). Energia pojedynczego spinu w zewnętrznym
odpowiednio EA 5 i EB 1.
polu magnetycznym H jest równa ε si µH, gdzie
i) Oblicz, ile wynosi objętość przestrzeni fazowej opisa- µ const..
nego układu ∆ΓpA B q.
i) Oblicz objętość przestrzeni fazowej badanego układu;
Zadanie 1 (1 punkt)
ii) Oblicz entropię układu;
ii) Jak zmieni się liczba mikrostanów tego układu, jeśli
rozważymy swobodny przepływ energii między układami A i B?
iii) Wyznacz pojemność cieplną CM opisanego modelu
Isinga;
iii) Jakie jest prawdopodobieństwo, że po usunięciu izolacji adiabatycznej energia podukładu A wzrośnie?
Zadanie 4 (1 punkt)
iv) Jaki podział energii między podukładami A i B odpowiada stanowi równowagi układu A i B?
Rozkład kanoniczny. Rozważ układ składający się
z dwóch niezależnych i rozróżnialnych cząstek. Załóż, że
każda z cząstka może przebywać w dwóch stanach o energiach równych 0 oraz ε. Oblicz:
Załóż, że energie układów są skwantowane, kwant energii
wynosi 1 oraz E ¡ 0. Stąd dla układu o energii E 5
mamy 6 dopuszczalnych stanów o numerach 0, 1, 2, 3,
i) średnią energię U ,
4 i 5. Czyli dla podukładu A mamy sytuację, że cząstka
ii) energię swobodną F ,
dla cząstki A1 mamy energię E pA1 q 5 i dla cząstki E2
mamy energię E pA2 q 0, albo E pA1 q 4 i E pA2 q 1, iii) entropię S,
albo . . . . W szczególnosci cząstki są rozróżnialne i dwie
badanego układu. Przyjmij, że temperatura układu jest
cząstki z danego podukładu mogą mieć tą samą energię.
stała i równa T .
Podukłady nie mogą wymieniać cząstek.
iv) Jak zmienią się wymienione funkcje stanu jeśli przyjmiemy, że badany układ składa się z N niezależnych
Zadanie 2 (1 punkt)
cząstek?
Model Einsteina ciepła właściwego sieci krystalicznej.
Energia pojedynczego kwantowego
oscylatora harmonicz
nego jest równa εpnq n 21 }ω, gdzie n P N. Rozważ Zadanie 5 (1 punkt)
układ N niezależnych oscylatorów harmonicznych o enerJeszcze raz Ising. Zbadaj termodynamiczne własnogii E. Wyznacz temperaturę oraz pojemność cieplną CV ści układu N niezależnych spinów Isinga umieszczonych
tego układu.
w termostacie o temperaturze T . Wyznacz energię wewnętrzną U oraz magnetyzację M tego układu. Załóż, że
energia pojedynczego spinu jest równa i si µH, gdzie
µ const.
Zadanie domowe: (3 punkt)
W modelu Einsteina, dla T ! 1, ciepło właściwe CV znika eksponencjalnie wraz ze zmniejszającą się temperaturą.
W rzeczywistych kryształach dla niskich temperatur mamy jednak CV pT q T 3 . Poprawny opis ciepła właściwego
można uzyskać stosując model Debye’a.
Zadanie 6 (1 punkt)
Pokaż, że wielka suma statystyczna Ξ układu otwartego
składającego się z nieoddziałujących i nierozróżnialnych
Udowodnij, że zgodnie z III zasadą termodynamiki cząstek oraz będącego w kontakcie z otoczeniem o tempepowinniśmy mieć limT Ñ0 CV pT q 0.
raturze T i potencjale chemicznym µ może być zapisana
W sensie, że suma energii podukładów jest stała i równa EA
w postaci:
EB
6.
ΞpT, V, µq exp eβµ Z1 pT,V q ,
: Zadanie domowe nie jest obowiązkowe. Jednak to zadanie jest
warte aż 3 punkty! Zachęcam więc do jego zrobienia – jest to sposób
na zdobycie dodatkowych punktów. Zadanie domowe można przynieść na najbliższe ćwiczenia lub wysłać w formie elektronicznej
w terminie do 19 maja do godziny 1400 .
gdzie Z1 pT,V q oznacza sumę statystyczną pojedynczej
cząstki należącej do tego układu.
1
Literatura
[1] K. Huang, Podstawy Fizyki Statystycznej, PWN,
Warszawa, 2006.
[2] K. Zalewski, Wykłady z mechaniki i termodynamiki
statystycznej dla chemików, Oficyna Wyd. Pol. Warszawskiej, Warszawa, 2006.
[3] H. Arodź, K. Rościszewski, Fizyki statystyczna i termodynamika fenomenologiczna dla studentów zaocznych, wyd.2, Wyd. Uniw. Jagiellońskiego, Kraków,
1980.
[4] H. Arodź, K. Rościszewski, Zbiór zadań z termodynamiki i fizyki statystycznej dla studentów zaocznych,
Wyd. Uniw. Jagiellońskiego, Kraków, 1980.
[5] A. Fronczak, Zadania i problemy z rozwiązaniami z
termodynamiki i fizyki statystycznej, Oficyna Wyd.
Pol. Warszawskiej, Warszawa, 2006.
[6] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Feynmana
wykłady z fizyki, tom 1.2, PWN, Warszawa, 2005.
[7] Krzysztof Rościszewski, Ryszard Zygadło, Tutorial.
Zadania oraz problemy z fizyki statystycznej i termodynamiki z pełnymi rozwiązaniami, Instytut Fizyki
UJ (5.02.2010)
2