uniwersytet wrocławski

UNIWERSYTET WROCŁAWSKI
Instytut Matematyczny
Pl. Grunwaldzki 2/4
50-384 Wrocław
Prof. Ryszard Szekli
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A, LISTA 11.
Pomocnicze zestawienie pojęć:
a. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), to przestrzeń mierzalna z miara, P taka,, że
P (Ω) = 1.
b. Zmienna losowa X : Ω → R jest funkcja, mierzalna,
, borelowska, o wartościach
rzeczywistych.
c. Dystrybuanta zmiennej losowej jest to funkcja FX (x) := P (X ¬ x) zdefiniowana
dla x ∈ R.
d. Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy miare, borelowska, P X na R, taka,, że
P X ((a, b]) = FX (b) − FX (a), dla wszystkich rzeczywistych liczb a < b.
e. Dystrybuanta FX jest typu
absolutnie ciagłego
jeśli istnieje funkcja fX , nieujemna,
,
∫x
rzeczywista, taka, że FX (x) = −∞ fX (u)du. (funkcja fX nie jest wyznaczona jednoznacznie,
nazywamy ja, gestości
a, rozkładu lub gestości
a, dystrybuanty FX ).
,
,
f. Dystrybuanta FX jest typu czysto dyskretnego jeśli istnieja, ciagi
(an ), (pn ), takie,
,
∑
∑
że FX (x) = n pn I[an ,∞) (x), pn ­ 0, n pn = 1. W szczególności, gdy an = n, dla n ∈ N ,
∑
FX (x) = ∞
n=0 pn I[n,∞) (x) jest dystrybuanta, kratowa, (zbiór (an ) zawarty jest w kracie liczb
całkowitych). Uwaga. pn = P (X = an ).
g. Dystrybuanta jest typu mieszanego jeśli jest postaci
FX (x) = pFXac (x) + qFXd (x),
ac typu absolutnie ciagłego i dystrybuanty F d typu czysto dyskretnego
dla dystrybuanty FX
X
,
d ).
oraz p, q ­ 0, p + q = 1 ( mówimy wtedy, że FX jest mieszanka, FXac i FX
h. Wartościa, oczekiwana, zmiennej losowej X jest liczba
∫
EX =
∞
−∞
udFX (u).
∫
∞
W przypadku, gdy FX jest typu absolutnie ciagłego
EX = −∞
ufX (u)du. W przypadku,
,∑
gdy FX jest typu czysto dyskretnego EX = n an pn . W przypadku, gdy FX jest typu
ac , a F d (x) = ∑ p I
fX
mieszanego oraz FXac ma gestość
n n [an ,∞) (x),
X
,
∫
EX = p
∞
−∞
ac
ufX
(u)du + q
∑
a n pn .
n
EX odpowiada środkowi cieżkości
rozkładu P X .
,
i. Wariancja, zmiennej losowej X jest liczba V arX := E((X − EX)2 ). W przypadku,
gdy FX jest typu absolutnie ciagłego
,
∫
V arX =
czysto dyskretnego V arX =
∑
∫
V arX = p
n (an
∞
−∞
∞
−∞
(u − EX)2 fX (u)du,
− EX)2 pn , mieszanego
ac
(u − EX)2 fX
(u)du + q
∑
(an − EX)2 pn .
n
Aby wykonać rachunki, należy zaczać
, od wyliczenia EX. V arX jest miara, rozrzutu wokół
wartości oczekiwanej (środka cieżkości).
,
1. Pokaż, że dystrybuanta dowolnej zmiennej losowej jest funkcja, niemalejac
, a, i prawostronnie ciagł
a.
,
,
2. Znajdź minimalna, wartość mina∈R E((X − a)2 ), przy założeniu, że wartości pod min
sa, skończone.
3. Pokaż, że jeśli ciągi zmiennych losowych Xn →P X, Yn →P Y , to ψ(Xn , Yn ) →P
ψ(X, Y ), dla każdej ciagłej
funkcji ψ : R × R → R. Pokaż analogiczna, własność dla
,
zbieżności prawie wszedzie.
,
4. Sprawdź, że F (x) = min(1, 3x2 − 2x3 )I(0,∞) (x) określa dystrybuante.
, Znajdź odpowiadajac
, a, jej gestość.
,
5. Zmienna X ma gestość
postaci (a) f (x) = c(1 − x2 )I(−1,1) (x), (b) f (x) = c(3− | x |
,
)I(−3,3) (x). Wyznacz c.
6. Zmienna X ma gestość
f (x) = (x/2)I(0,2) (x). Znajdź (a) dystrybuante,
,
, (b) P (X < 1),
(c) P (X > 1.5).
7. Niech zmienna T ­ 0 ma gestość
f i dystrybuante, F . Wtedy
,
1
P (t < T < t + h | T > t)
h→0 h
r(t) = lim
nazywamy intensywnościa, awarii po przetrwaniu do czasu t. (a) wylicz r(t) w zaleźności od f i F , (b) oblicz r gdy F (x) = (1 − exp(x))I[0,∞) (x), (c) gdy F (x) =
(1 − exp(−x2 ))I[0,∞) (x).
8. Jeśli X ma gestość
fX , to jaka, gestość
ma Y = cX + d, c > 0?
,
,
9. Jeśli X ma rozkład wykładniczy standardowy, tzn. fX (x) = e−x I(0,∞) (x), to znajdź gęstość, dystrybuantę, wartość oczekiwaną, wariancję oraz intensywnośc awarii zmiennej
Y = X/λ, λ > 0 (mówimy, że Y ma rozkłąd wykładniczy z parametrem (λ), i piszemy
Y ∼ Exp(λ).
10. Jeśli X ∼ Exp(λ) to jaka, ma gestość
Y = X 1/α , α > 0. Wylicz wartość oczekiwaną,
,
wariancję oraz intensywność awarii tego rozkładu. Dla jakich wartości parametru α
intensywność awarii jest rosnąca? Otrzymany rozkład nazywamy rozkładem Weibulla.
11. Jeśli X ∼ Exp(λ) to jaka, dystrybuante, ma Y = ln(X). Otrzymany rozkład nazywamy
podwójnie wykładniczym.
12. Znajdź gestość
Y = eX dla X o rozkładzie normalnym N (m, σ). Rozkład ten nazywamy
,
logarytmicznie normalnym.
13. Zmienna X ma rozkład jednostajny na (0, π/2). Znajdź gestość
Y = sinX. Jest to
,
rozkład arcusa sinusa.
14. Znajdź funkcje, h taka,
3x−4 I[1,∞) (x), przy założeniu,
, aby zmienna h(U ) miała gestość
,
że U ma rozkład jednostajny na [0, 1].
15. Pokaż, że jeśli F1 (x) ­ F2 (x), gdzie Fi sa, dystrybuantami na R, to można znaleźć
zmienne X1 i X2 , dla których X1 ¬ X2 i Xi ma rozkład Fi .
16. Niech (X, Y ) maja, łaczn
a, gestość
f (x, y) = c(x + y)I(0,1)×(0,1) (x, y). Wylicz c oraz
,
,
P (X < 1/2).
17. Niech (X, Y ) maja, łaczn
a, gestość
f (x, y) = 6xy 2 I(0,1)×(0,1) (x, y). Wylicz P (X +Y < 1).
,
,
18. Niech (X, Y ) maja, łaczn
a, gestość
f (x, y) = 1I(0,1)×(0,1) (x, y). Wylicz P (XY < z).
,
,
19. Niech (X, Y ) maja, łaczn
a, gestość
f (x, y) = (x + 2y 3 )I(0,1)×(0,1) . Wylicz gestości
brze,
,
,
gowe X i Y .
20. Niech (X, Y, Z) bedzie
losowym punktem w kuli jednostkowej, tzn.
,
f (x, y, z) = (3/4π)I{x2 +y2 +z 2 ¬1} (x, y, z).
Znajdź gestość
brzegowa, (X, Y ).
,
21. Zakładajac,
że X i Y sa, niezależne o rozkładach normalnych N (0, 1), znajdź dystry,
buante, Z = (X 2 + Y 2 )1/2 . Jest to rozkład Rayleigha.
22. Podobnie X, Y, Z niech bed
, a, niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym N (0, 1).
Znajdź dystrybuante, V = (X 2 + Y 2 + Z 2 )1/2 . Jest to rozkład Maxwella.
23. Dla niezależnych zmiennych losowych X1 , . . . , Xn o dystrybuancie FX , wylicz dystrybuante, M = max{X1 , . . . , Xn } oraz m = min{X1 , . . . , Xn }. Jeśli FX ma intensywność
awarii r(x), to jaka jest intensywność awarii zmiennej m. Pokaż w szczególności, że jeśli
F jest wykładnicza, to m ma rozkład wykładniczy (jak zmieni się parametr rozkładu?).