´Cwiczenia, Mechanika Kwantowa 9-12-2009

Ćwiczenia, Mechanika Kwantowa 9-12-2009
Rachunek zaburzeń II
Przypadki z poczatkow
˛
a˛ degeneracja˛
Ćwiczenia
1. Zjawisko Starka pierwszego rz˛edu w atomie wodoru.
~ dodatkowa energia protonu i elektronu (razem) jest
W zewn˛etrznym jednorodnym polu elektrycznum E,
H ′ = eEz = eEr cos θ,
~
gdzie oś z została oczywiście wybrana wzdłuż kierunku pola E.
(a) Znaleźć zmian˛e energii stanów s i p w pierwszym rz˛edzie rachunku zaburzeń. [Wyniki: δE = 0; 0, 0, ±3eEa0 ]
(b) Dla których stanów p została usuni˛eta degeneracja, a dla których nie?
2. Zaburzenie poziomów atomu wodoru spowodowane skończonym rozmiarem protonu.
W pewnym przybliżeniu proton może być opisany jako kula z ładunkiem elektrycznym o promieniu r∗ = ǫa0 , gdzie
ǫ ≈ 3 × 10−5 . Wtedy, potencjał staje si˛e
V (r) = −
e2 r2
, kiedy r < r∗
r∗3
(a) Znaleźć zmian˛e energii stanów s i p w pierwszym rz˛edzie rachunku zaburzeń.
2
ǫ4
[Wyniki (do najniższych rz˛edów ǫ): δE = 4ǫ2 |E1 |; 6ǫ5 |E2 |, 28
|E2 | × 3]
(b) Któ re stany p maja˛ dużo mniejsze przesuni˛ecie energii?
3. Zaburzenie dwu-wymiarowego oscylatora harmonicznego.
Dwu-wymiarowy oscylator harmoniczny V (x, y) = 12 ~ω(x2 + y 2 ) jest zaburzony przez potencjał
H ′ = ǫ~ωxy.
(a) Znaleź’c zmian˛e energii stanów o niezaburzonych energiach ~ω, 2~ω, 3~ω, w pierwszym rz˛edzie rachunku zaburzeń.
[Wyniki: δE = 0; ±ǫ~ω; 0, ±ǫ~ω]
(b) które stany zostaja˛ zaburzone/niezaburzone, i dlaczego?
Atom wodoru
e2
En = −
2a0 n2
V (r) = −
R10 =
1
3/2
a0
e2
r
a0 =
ψnlm = Rnl (r)Ylm (θ, φ)
−r/a0
2e
Y00
R20
1
=
(2a0 )3/2
Y10 =
r
1
=√
4π
~2
µe2
µ=
mp me
mp + m e
n = 1, 2, . . . ;
r
2−
a0
3
cos θ
4π
−r/2a0
e
l = 0, . . . , n − 1; m = −l, . . . , l
R21
r
Y1,±1 = ∓
1
=
(2a0 )3/2
r
√
a0 3
e−r/2a0
3
sin θe±iφ
8π
Dwu-wymiarowy oscylator harmoniczny
Enm = ~ω (1 + n + m)
n, m = 0, 1, . . .
2
e−x
ψn (x) = p
V (x, y) =
1
~ω x2 + y 2
2
/2
Hn (x)
√
n!2n π
H0 (ξ) = 1
H1 (ξ) = 2ξ
ψnm = ψn (x)ψm (y)
H2 (ξ) = 2(2ξ 2 − 1)