Atom wodoru i jon wodoropodobny − h2 2µ ∆ψ − Ze2 4πε0r ψ = Eψ

Atom wodoru i jon wodoropodobny
Ze2
~2
∆ψ −
ψ = Eψ
2µ
4πε0 r
−
(1)
Ze - ladunek jadra,
e - ladunek elektronu,
,
µ - masa zredukowana
µ=
me Mj
me +Mj
( µ ≈ me )
me - masa elektronu,
Mj - masa jadra,
,
ε0 - przenikalność elektryczna próżni
En = −
Z 2 e4 µ
32π 2 ε20 ~2 n2
n = 1, 2, 3, . . .
(2)
n -glówna liczba kwantowa
energia w J (jednostkach ukladu SI); 1J =
1
1,602177·10−19
= 6,24151 · 1018 eV
JEDNOSTKI ATOMOWE
~ =1, me =1, e=1,
1
=1
4πε0
jednostka dlugości (bohr): a0 =0,529177 · 10−10 m (promień pierwszej orbity w modelu
atomu Bohra)
jednostka energii (hartree) Eh =
~2
;
me a20
−
1 Eh = 4,35974 · 10−18 J
1
Z
∆ψ − ψ = Eψ
2µ
r
(3)
Przyjmujac
, µ = me otrzymujemy dla atomu wodoru (Z=1) równanie Schrödingera:
1
1
− ∆ψ − ψ = Eψ
2
r
(4)
Energia atomu wodoru lub jonu wodoropodobnego w jednostkach atomowych:
En = −
µZ 2
2n2
n = 1, 2, 3, . . .
(5)
Z2
2n2
n = 1, 2, 3, . . .
(6)
Po przyjeciu
µ = me :
,
En = −
Dla atomu wodoru (Z=1) różnica energii poziomów n2 i n1 (w hartree) wynosi:
∆En1 n2 =
µ 1
1
( 2 − 2)
2 n1 n2
∆En1 n2 = hν = h
c
λ
ATOM WODORU
2
(7)
(8)
Funkcje falowe opisujace
stan elektronu w atomie wodoru
,
ψnlm (r, θ, φ) = Rnl (r)Ylm (θ, φ)
(9)
Liczby kwantowe:
glówna n = 1, 2, 3,. . .
poboczna 0 ≤ l ≤ n − 1
magnetyczna m: -l, −l + 1,. . ., -1, 0, 1,. . ., l − 1, l
degeneracja poziomu energetycznego n2
ψ100 = N1s e−Zr/a0
ψ200 = N2s e−Zr/2a0 (2 −
(1s)
Zr
)
a0
(2s)
ψ210 = N2p e−Zr/2a0 r cos θ
(2p0 = 2pz )
1
ψ211 = √ N2p e−Zr/2a0 r sin θeiφ
(2p1 )
2
1
ψ21−1 = √ N2p e−Zr/2a0 r sin θe−iφ
(2p−1 )
2
Z 2 r2
Zr
+2 2 )
(3s)
ψ300 = N3s e−Zr/3a0 (27 − 18
a0
a0
Zr
ψ310 = N3p e−Zr/3a0 (6 −
)r cos θ
(3p0 = 3pz )
a0
Zr
1
)r sin θeiφ
(3p1 )
ψ311 = √ N3p e−Zr/3a0 (6 −
a0
2
1
Zr
ψ31−1 = √ N3p e−Zr/3a0 (6 −
)r sin θe−iφ
(3p−1 )
a
2
0
ψ320 = N3d e−Zr/3a0 r2 (3 cos2 θ − 1)
(3d0 = 3d3z2 −r2 )
√
ψ321 = 6N3d e−Zr/3a0 r2 sin θ cos θeiφ
(3d1 )
√
ψ32−1 = 6N3d e−Zr/3a0 r2 sin θ cos θe−iφ
(3d−1 )
√
3
N3d e−Zr/3a0 r2 sin2 θe2iφ
ψ322 =
(3d2 )
2
√
3
N3d e−Zr/3a0 r2 sin2 θe−2iφ
(3d−2 )
ψ32−2 =
2
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
..
.
Ĥψnlm = En ψnlm
(24)
L̂2 ψnlm = l(l + 1)~2 ψnlm
(25)
L̂z ψnlm = m~ψnlm
(26)
3
Sposoby graficznego przedstawiania orbitali:
• wykres orbitalu
4
• wykres gestości
prawdopodobieństwa (kwadratu modulu orbitalu)
,
5
• radialna gestość
prawdopodobieństwa - gestość
prawdopodobieństwa znalezienia
,
,
elektronu w odleglości r od jadra
(niezależnie od wartości katów
θ i φ)
,
,
• kontur orbitalu
Znak ”+” umieszczony na jakiejś cześci
konturu orbitalu oznacza, że dla tego
,
obszaru wartości orbitalu (wartości funkcji) sa, dodatnie; znak ”-” oznacza, że te
wartości sa, ujemne
6
z = r cos θ
ψ210 = N2p e−Zr/2a0 r cos θ
(2p0 = 2pz )
(27)
Dla z > 0 wartości 2pz > 0 (”+” na konturze), dla z < 0 wartości 2pz < 0 (”-”
na konturze).
1
ψ211 = √ N2p e−Zr/2a0 r sin θeiφ
(2p1 )
(28)
2
1
ψ21−1 = √ N2p e−Zr/2a0 r sin θe−iφ
(2p−1 )
(29)
2
Funkcje falowe dla m ̸= 0 - wartości zespolone. Nie można narysować konturu.
1
1
√ (p1 + p−1 ) = N2p e−Zr/2a0 r sin θ(eiφ + e−iφ ) =
2
2
(30)
= N2p e−Zr/2a0 r sin θ cos φ = N2p e−Zr/2a0 x = 2px
(31)
−i
−i
√ (p1 − p−1 ) =
N2p e−Zr/2a0 r sin θ(eiφ − e−iφ ) =
2
2
(32)
= −i2 N2p e−Zr/2a0 r sin θ sin φ = N2p e−Zr/2a0 y = 2py
(33)
2px i 2py - to takie kombinacje liniowe 2p1 i 2p−1 , które maja, wartości rzeczywiste
Niech a,c1 , c2 , b1 , b2 - liczby, a f , g, h - funkcje.
Jeśli α̂f = af , α̂g = ag i h = c1 f + c2 g, to
α̂h = α̂(c1 f + c2 g) = c1 α̂f + c2 α̂g = c1 af + c2 ag = a(c1 f + c2 g)
(34)
czyli α̂h = ah, wiec
, h jest funkcja, wlasna, α̂.
Jeśli jednak β̂f = b1 f , β̂g = b2 g i h = c1 f + c2 g, to
β̂h = β̂(c1 f + c2 g) = c1 β̂f + c2 β̂g = c1 b1 f + c2 b2 g
(35)
czyli β̂h ̸= liczba · h, wiec
, h nie jest funkcja, wlasna, β̂.
2px i 2py nie sa, funkcjami wlasnymi L̂z (wartość m nieokreślona!)
Analogicznie: 3dx2 −y2 i 3dxy to kombinacje liniowe 3d2 i 3d−2 , natomiast 3dxz i
3dyz to kombinacje liniowe 3d1 i 3d−1 .
3dx2 −y2 , 3dxy , 3dxz i 3dyz nie sa, funkcjami wlasnymi L̂z (wartość m nieokreślona!)
7
dxy dodatnie, gdy xy > 0
dyz dodatnie, gdy yz > 0
dxz dodatnie, gdy xz > 0
8
dx2 −y2 dodatnie, gdy x2 − y 2 > 0
d3z2 −r2
9