STATYSTYKA MATEMATYCZNA Lista 5 1. Dwuwymiarowa zmienna
Transkrypt
STATYSTYKA MATEMATYCZNA Lista 5 1. Dwuwymiarowa zmienna
STATYSTYKA MATEMATYCZNA Lista 5 1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład prawdopodobieństwa określony nastepuj aco: P (X = 1, Y = 1) = 0.2, P (X = 1, Y = 2) = 0.3, P (X = 3, Y = 1) = , , 0.4, P (X = 3, Y = 2) = 0.1. (a) Zapisać ten rozkład w tabeli. (b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe. (c) Zbadać czy zmienne losowe X i Y sa, niezależne. 2. Wykonujemy rzut dwiema kostkami do gry. Niech X oznacza wynik otrzymany na drugiej kostce a Y wyższa, z dwóch otrzymanych wartości. (a) Wyznaczyć rozkład wektora losowego (X, Y ). (b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe wektora losowego (X, Y ). (c) Obliczyć kowariancję zmiennych losowych X i Y. (d) Obliczyć współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y. (e) Czy zmienne losowe X i Y sa, niezależne? Czy są one nieskorelowane? 3. Gęstość rozkładu wektora losowego (X, Y ) zadana jset wzorem { kxy, gdy 0 < x < 1 i 0 < y < 2, f (x, y) = 0, w przeciwnym przypadku. (a) Wyznaczyć stała̧ k tak, aby f (x, y) była gȩstościa̧ rozkładu wektora (X, Y ). (b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennych losowych X i Y. (c) Obliczyć kowariancję zmiennych losowych X i Y. (d) Obliczyć współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y . (e) Czy zmienne losowe X i Y sa, niezależne? Czy są one nieskorelowane? 4. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład dany warunkami: P (X = −1, Y = 0) = 0.125, P (X = −1, Y = 2) = 0.5, P (X = 1, Y = 0) = 0.125, P (X = 1, Y = 2) = 0.25. (a) Wyznaczyć rozkłady warunkowe. (b) Obliczyć warunkowe wartości oczekiwane. Odpowiedzi do zadań 1 (c) Zmienne nie są niezależne 2 (e) Zmienne nie są niezależne i nie są nieskorelowane. 3 (a) k = 1 (c) Cov(X, Y ) = 0 (d) ρ(X, Y ) = 0 (e) Zmienne losowe X, Y są niezależne i stąd również nieskorelowane. 4 (b) E(X|Y = 0) = 0, E(X|Y = 2) = −1/3, E(Y |X = −1) = 8/5, E(Y |X = 1) = 4/3. Alicja Jokiel-Rokita 15 listopada 2016