funkcja kwadratowa-przykładowe zadania

Zad.1 Określ monotoniczność i zbiór wartości poniższych funkcji. Podaj wzory osi symetrii funkcji.
a)
Odczytuję współrzędne wierzchołka z postaci
kanonicznej
oraz współczynnik
Pomaga szkic wykresu funkcji:
-3
0
Parabola ma ramiona
skierowane
do dołu bo a<0
.
b)
Odczytuję współrzędne wierzchołka z postaci
kanonicznej
oraz współczynnik
y
.
y
x
Parabola ma ramiona
skierowane
do góry bo a>0
-2
0
4
x
x=-3
Funkcja rośnie
dla
Funkcja maleje
dla
Zbiór wartości:
Oś symetrii:
c)
Odczytuję współrzędne wierzchołka z postaci
kanonicznej
oraz współczynnik
7
Funkcja rośnie
dla
Funkcja maleje
dla
Zbiór wartości:
Oś symetrii:
UWAGA!!!
.
y
0
Funkcja rośnie
dla
Funkcja maleje
dla
MAKSYMALNY PRZEDZIAŁ, w którym funkcja z punktu a)
rośnie, to
maleje, to
MAKSYMALNY PRZEDZIAŁ, w którym funkcja z punktu b)
rośnie, to dla
maleje, to
x
Zbiór wartości:
Oś symetrii:
MAKSYMALNY PRZEDZIAŁ, w którym funkcja z punktu c)
rośnie, to
maleje, to
Zad.2 Poniższe funkcje zapisz w postaci ogólnej
a)
Przekształcam korzystając ze wzoru skróconego
mnożenia:
b)
Przekształcam korzystając ze wzoru skróconego
mnożenia:
Odp.
Odp.
Zad.3 Poniższe funkcje zapisz w postaci kanonicznej
a)
Korz st m ze wzoru n post ć k noniczną
wierzchołk p i q or z określić współcz nnik .
b
c
p
q
b
b)
cz li muszę oblicz ć współrzędne
b
p
q
b
c
c
c
Odp.
Odp.
Zad.4 Poniższe funkcje zapisz w postaci iloczynowej
a)
Korz st m ze wzoru n post ć ilocz nową
zerowe unkcji or z określić współcz nnik .
b
c
b
c
b)
cz li muszę oblicz ć miejsc
b
b
Odp.
Odp.
Zad.5 Znajdź punkty wspólne wykresów funkcji z osiami układu współrzędnych prostokątnych
a)
z osią OX (to są miejsca zerowe)
b
b
b) f
z osią OX (to są miejsca zerowe)
c
c
z osią OY
z osią OY
Odp. Punkty wspólne z osią OX to:
i
osią OY to
c)
z osią OX (to są miejsca zerowe)
Odp. Punkty wspólne z osią OX to:
zaś z
Odp. Punkty wspólne z osią OX to:
zaś z osią OY to
z osią OY
i
zaś z osią OY to
i
Zad.6 Wykres jednomianu kwadratowego
przesunięto równolegle wzdłuż osi OX o
1 w kierunku ujemnym i wzdłuż osi OY o 4 w
kierunku dodatnim. Otrzymano wykres funkcji g.
Zapisz jej wzór.
Rozwiązanie:
Korzystam z postaci kanonicznej
Z treści zadania wiadomo, że:
p
iq
Zad.7 Funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca
zerowe:
or z oraz można ją opisać wzorem:
. Wykaż, że najmniejszą
wartością funkcji jest
.
Rozwiązanie:
2 jest miejscem zerowym, więc
czyli
Najmniejszą wartością funkcji jest q
q
Odp.
b
q
c
c.n.u
Zad.8 Do wykresu funkcji kwadratowej f należy punkt
, a dla argumentu 10 funkcja przyjmuje
największą wartość równą 2. Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej.
Rozwiązanie:
Korzystam z postaci kanonicznej
Z treści zadania wiadomo, że p
iq
. Zatem:
.
Jeśli punkt należy do wykresu funkcji tzn, że spełnia jej równanie. Mamy więc:
.
.
Wzór funkcji w postaci kanonicznej:
Przekształcam do postaci ogólnej:
Odp.
Zad.9 Funkcja kwadratowa
0,25. Oblicz
.
Rozwiązanie:
b
b
przyjmuje największa wartość dla argumentu
Wiadomo, że funkcja kwadratowa przyjmuje największa wartość dla argumentu p
/
oraz e
b
Wobec tego
Odp.
Zad.10 Obwód prostokąta wynosi 4 m. Naszkicuj wykres funkcji f, która opisuje zależność między polem
prostokąta a długością jednego z boków prostokąta. Pamiętaj o określeniu dziedziny funkcji.
Rozwiązanie:
Oznaczmy długości boków prostokąta przez a i b.
P(b)
Z treści wiadomo, że
b
, stąd
b
Pole prostokąta, to iloczyn jego boków.
b
1
więc
b b
b
b i b
Pole jest funkcją zmiennej b: b
b
b
Obliczam miejsca zerowe:
0
1
2
b
b b
stąd b
b
Zad.11 Dana jest funkcja kwadratowa
, której największa wartość jest równa 8.
Wyznacz współczynnik a oraz zapisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej.
Rozwiązanie:
Ze wzoru funkcji (postać iloczynowa) odczytuję jej miejsca zerowe:
or z .
Wiadomo, że współrzędna p wierzchołka paraboli
p q znajduję się dokładnie pośrodku pomiędzy
miejscami zerowymi, stąd p
.
Wierzchołek paraboli, to jeden z punktów należących do wykresu funkcji f, więc
.
Największa wartość funkcji to właśnie q. Stąd
Mamy więc:
stąd
Wzór funkcji w postaci kanonicznej:
Odp. Współczynnik
. Po podstawieniu danych mamy:
, a wzór funkcji f w postaci kanonicznej ma postać: