Zadania – Obliczalność i złożoność

Zadania – Obliczalność i złożoność
Zad. 1. Dla podanych poniżej grafowych problemów decyzyjnych rozstrzygnij czy należą do klasy P.
Jeśli nie, to czy należą do klasy NP? Odpowiedź uzasadnij podając ideę maszyny Turinga i jej czas
działania.
a) Spójność grafu
Wejście: Graf nieskierowany G=(V,E) zapisany jako lista sąsiedztwa.
Pytanie: Czy graf jest spójny?
b) Dwukolorowalność grafu
Wejście: Graf nieskierowany G=(V,E) zapisany jako lista sąsiedztwa.
Pytanie: Czy wierzchołki grafu da się pokolorować dwoma kolorami (tak, aby ten sam kolor nie
sąsiadował ze sobą)?
c) Ścieżka Eulera
Wejście: Graf nieskierowany G=(V,E) zapisany jako lista sąsiedztwa.
Pytanie: Czy graf posiada ścieżkę Eulera (ścieżkę przechodzącą przez każdą krawędź jeden raz)?
d) Cykl Hamiltona
Wejście: Graf nieskierowany G=(V,E) zapisany jako lista sąsiedztwa.
Pytanie: Czy graf posiada cykl Hamiltona (cykl przechodzący przez każdy wierzchołek jeden
raz)?
e) Test na drzewo
Wejście: Spójny graf nieskierowany G=(V,E) zapisany jako lista sąsiedztwa.
Pytanie: Czy graf jest drzewem?
f) Zbiór niezależny
Wejście: Graf nieskierowany G=(V,E) zapisany jako lista sąsiedztwa, liczba k.
Pytanie: Czy graf posiada zbiór niezależny przynajmniej k wierzchołków? (zbiór niezależny to
taki, w którym żadne dwa wierzchołki nie są połączone krawędzią)
g) Klika
Wejście: Graf nieskierowany G=(V,E) zapisany jako lista sąsiedztwa, liczba k.
Pytanie: Czy graf posiada klikę o przynajmniej k wierzchołkach?
Zad. 2. Dla podanych poniżej liczbowych i łańcuchowych problemów decyzyjnych rozstrzygnij czy
należą do klasy P. Jeśli nie, to czy należą do klasy NP? Odpowiedź uzasadnij podając ideę maszyny
Turinga i jej czas działania.
a) Posortowanie
Wejście: Ciąg liczb binarnych (oddzielonych specjalnych symbolem).
Pytanie: Czy ciąg liczb jest rosnący?
b) Problem podziału (binarne)
Wejście: Ciąg binarnych liczb naturalnych.
Pytanie: Czy zbiór tych liczb da się podzielić na dwa rozłączne podzbiory, których elementy
sumują się do tej samej liczby?
c) Problem podziału (unarne)
Wejście: Ciąg unarnych liczb naturalnych.
Pytanie: Czy zbiór tych liczb da się podzielić na dwa rozłączne podzbiory, których elementy
sumują się do tej samej liczby?
d) 3-Podział
Wejście: Ciąg 3m unarnych liczb naturalnych.
Pytanie: Czy zbiór tych liczb da się podzielić na m podzbiorów trójelementowych, w których
elementy sumują się do tej samej liczby?
e) Wspólne Nadsłowo
Wejście: Alfabet A, zbiór R słów nad alfabetem A, liczba k.
Pytanie: Czy istnieje słowo co najwyżej długości k, którego podsłowem jest każde słowo z R?
f) Podsłowo rozproszone
Wejście: Alfabet A, słowo w nad alfabetem A, zbiór słów w1,w2,...,wk nad alfabetem A.
Pytanie: Czy słowa w1,w2,...,wk są rozproszonymi podsłowami w?