Kolorowanie wierzchołkowe Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

Kolorowanie wierzchołkowe
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Kolorowanie wierzchołkowe
DEFINICJA Kolorowaniem wierzchołkowym grafu G = (V, E) nazywamy dowolną funkcję c określoną na zbiorze
wierzchołków V o wartościach w zbiorze kolorów C. Mówimy, że graf jest pokolorowany elementami ze zbioru C.
DEFINICJA Kolorowanie wierzchołkowe grafu G = (V, E) nazywamy właściwym wtedy i tylko wtedy, gdy c(u) 6=
c(v) dla uv ∈ E. Mówimy, że graf jest pokolorowany właściwie.
Grafy k-kolorowalne, liczba chromatyczna
DEFINICJA Mówimy, że graf G jest k-kolorowalny wtedy i tylko wtedy, gdy można go pokolorować właściwie przy
użyciu k kolorów.
DEFINICJA Liczbę k taką, że graf G jest k-kolorowalny, ale nie jest (k − 1)-kolorowalny nazywamy liczbą chromatyczną i oznaczamy χ(G).
DEFINICJA Mówimy, że graf G jest k-chromatyczny wtedy i tylko wtedy, gdy χ(G) = k
Liczba chromatyczna a maksymalny stopień
TWIERDZENIE Dla dowolnego grafu G prawdziwa jest nierówność χ(G) 6 ∆(G) + 1.
Twierdzenie Brooksa 1941
TWIERDZENIE Jeśli graf spójny nie jest ani grafem pełnym, ani cyklem o nieparzystej długości, to χ(G) 6 ∆(G).
Twierdzenie o pięciu kolorach
TWIERDZENIE Każdy graf planarny G jest 5-kolorowalny.
Twierdzenie o czterech kolorach
TWIERDZENIE[Appel, Haken 1977; Robertson, Sanders, Seymour, Thomas 1997]
Każdy graf planarny G jest 4-kolorowalny.
1