Przestrzenie liniowe — podstawowe własności

Wykład 7 (26 XI 2009)
Przestrzenie liniowe — podstawowe
własności
Treść wykładu.
Aparat przestrzeni liniowych w zastosowaniu do układów równań liniowych.
Pojęcie przestrzeni liniowej, przestrzeń rozpięta przez układ wektorów;
Podprzestrzenie liniowe, przestrzeń rozwiązań układu jednorodnego równań liniowych;
Baza przestrzeni liniowej, wymiar przestrzeni liniowej;
Przestrzeń kolumnowa i przestrzeń wierszowa macierzy, równość wymiarów tych przestrzeni;
Liniowo zależne i liniowo niezależne układy wektorów;
Konstrukcje przestrzeni liniowych — część wspólna i suma przestrzeni liniowych;
Konstrukcja rozwiązania układu niejednorodnego z rozwiązania szczególnego układu niejednorodnego i
rozwiązania ogólnego układu jednrodnego;
Konstrukcja bazy przestrzeni rozwiązań układu jednorodnego;
Parametryzacja zbioru rozwiązań układu niejednorodnego za pomocą bazy przestrzeni rozwiązań układu
jednorodnego.
7.1
Pojęcie przestrzeni liniowej
Definicja 7.1 (Przestrzeń liniowa) Przestrzenią liniową będziemy nazywać dowolny niepusty zbiór V ⊂
Mm×n (R) spełniający warunek
Dla każdej pary v, w ∈ V i każdej pary liczb α, β ∈ R kombinacja liniowa αv + βw jest elementem V . (7.1)
Zastępując w powyższym sformułowaniu przestrzeń Mm×n (R) macierzy o wyrazach rzeczywistych przestrzenią Mm×n (C) macierzy o wyrazach zespolonych i dozwalając na tworzenie kombinacji liniowych αv + βw ze
współczynnikami α, β ∈ C otrzymujemy definicję przestrzeni liniowej nad ciałem C (zespolonej przestrzeni
liniowej).
Jeśli dane są dwie przestrzenie liniowe W i V , a przy tym W ⊂ V (W jest podzbiorem V ), to będziemy
mówili, że W jest podprzestrzenią liniową V (lub krótko podprzestrzenią) V (1 ).
W szczególności, każdy podzbiór V ⊂ Rn , który jest przestrzenią liniową, będziemy nazywać podprzestrzenią
liniową przestrzeni kartezjańskiej Rn .
Zamiast przestrzeń liniowa mówi się często także przestrzeń wektorowa.
Przykład 7.1.1 Zbiór
V = { v ∈ M2 (R) | v =
spełnia warunek (7.1), gdyż jeśli v, w ∈ V i α, β ∈ R, to zapisując
v=
1
v11
0
v12
,
v22
w=
v11
0
w11
0
v12
}
v22
w12
w22
Używając tej terminologii możemy powiedzieć, że przestrzeń liniowa jest podprzestrzenią liniową przestrzeni macierzy Mm×n (R).
57
58
ALiGA — Wykład 7 – 8.
widzimy, że kombinacja liniowa
αv + βw =
αv11 + βw11
0
αv12 + βw12
αv22 + βw22
jest też elementem V . A zatem V , to jest zbiór macierzy kwadratowych stopnia 2 i górnotrójkątnych jest przestrzenią liniową.
Kontrastuje z tym przypadek zbioru
v11 v12
M = { v ∈ M2 (R) | v =
},
1
v22
gdyż wtedy dla kombinacji liniowej αv + βw elementów v, w ∈ M mamy
αv + βw =
αv11 + βw11
α+β
αv12 + βw12
.
αv22 + βw22
A zatem dla takich stałych α, β ∈ R, dla których α + β 6= 1 kombinacja liniowa αv + βw nie jest elementem M i w konsekwencji
zbiór M nie spełnia warunku (7.1).
W konsekwencji tej definicji dla każdej przestrzeni liniowej V ⊂ Mm×n (R) spełnione są dla v, w ∈ Mm×n (R)
następujące implikacje
v, w ∈ V =⇒ v + w ∈ V ;
v ∈ V =⇒ αv ∈ V,
dla każdego α ∈ R.
Suma v + w użyta powyżej jest obliczona zgodnie z regułami dodawania macierzy (gdyż z założenia V ⊂
Mm×n (R) elementy v, w ∈ V są macierzami o wymiarach m × n), a iloczyn αv jest iloczynem liczby α i
macierzy v ∈ Mm×n (R), tak jak to określa Definicja 6.3.
Możemy te obserwacje wyrazić jeszcze inaczej.
Stwierdzenie 6 Dla każdej przestrzeni liniowej V ⊂ Mm×n (R) zadane sa dwa odwzorowania:
V × V ∋ (v, w) 7→ v + w ∈ V,
R × V ∋ (α, v) 7→ αv ∈ V,
(7.2)
dla których spełnione są wszystkie własności algebraiczne działań wymienione w Stwierdzeniu 4.
W szczególności, każda przestrzeń liniowa V ⊂ Mm×n (R) zawiera element zerowy (tj. macierz zerową), a dla
każdego elementu v ∈ V element przeciwny −v jest też elementem V .
Uwaga. W większości podręczników algebry liniowej przyjmuje się warunki sformułowane w Stwierdzeniu 6
jako podstawę definicji przestrzeni liniowej z ciałem skalarów R. Powiada się mianowicie, że przestrzenią liniową
nad ciałem R jest zbiór V (dowolnej natury, niekoniecznie będący podzbiorem przestrzeni macierzy Mm×n (R)),
dla którego są określone odwzorowania (7.2) spełniające wszystkie warunki wymienione w Stwierdzeniu 4.
Lemat 2 Niech V będzie przestrzenią liniową. a) Jeśli wektory v1 , . . . , vk należą do przestrzeni V , to dla
dowolnych współczynników λ1 , . . . , λk ∈ R kombinacja liniowa
k
P
λj vj jest elementem przestrzeni V .
j=1
b) Jeśli v =
k
P
j=1
λj vj i w =
k
P
µj vj są kombinacjami liniowymi wektorów układu v1 , . . . , vk , to dla dowolnych
j=1
stałych α, β ∈ R kombinacja liniowa αv + βw jest też kombinacją liniową wektorów układu v1 , . . . , vk .
W myśl definicji 7.1 zbiór wszystkich kombinacji liniowych danego układu wektorów jest więc przestrzenią
liniową.
Definicja 7.2 (Przestrzeń rozpięta przez układ wektorów) Niech v1 , . . . , vk będzie układem wektorów
przestrzeni liniowej V . Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów tego układu, tj. zbiór
{v =
k
X
λj vj ∈ V | λj ∈ R, j = 1, . . . , k }
j=1
nazywamy przestrzenią liniową rozpiętą przez układ v1 , . . . , vk i oznaczamy symbolem lin{v1 , . . . , vk }.
(7.3)
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 18 stycznia 2010 roku)
59
Przykład 7.1.2 Niech
a
V = {X =
c
b
∈ M2 (R) | a + d = 0 }
d
Łatwo sprawdzić, że jeśli macierze X, Y należą do V , to dla dowolnych stałych α, β ∈ R kombinacja liniowa αX + βY też należy
do V . Rzeczywiście, niech
a b
s t
X=
, Y =
,
gdzie
a + d = 0,
s + w = 0.
c d
u w
Wówczas
αX + βY =
αa + βs
αc + βu
αb + βt
,
αd + βw
oraz
(αa + βs) + (αd + βw) = α(a + d) + β(s + w) = 0.
Pozostawiamy do sprawdzenia czytelnikowi, że każdy z poniższych układów rozpina przestrzeń V :
E1 =
E1 =
7.2
1
0
0
0
, E2 =
−1
0
0
1
, E3 =
1
0
0
;
0
1
0
0
0
, S1 =
−1
1
1
0
, S2 =
0
−1
1
.
0
Pojęcie bazy przestrzeni liniowej
Definicja 7.3 (Baza przestrzeni liniowej) Bazą przestrzeni liniowej V nazywamy taki ciąg v1 , . . . , vk elementów przestrzeni V , że każdy element z V można jednoznacznie przedstawić jako kombinację liniową wyrazów
tego ciągu.
Twierdzenie 18 Jeśli V ⊂ Mm×n (R) jest przestrzenią wektorową, to każde dwie bazy V mają tę samą liczbę
elementów nazywaną wymiarem przestrzeni V . Wymiar przestrzeni V oznaczmy symbolem dim V .
Przykład 7.2.1 a) Bazę przestrzeni kartezjańskiej Rn tworzy układ wektorów zero-jedynkowych e1 , . . . , en zadanych jako
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0),
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0),
. . . , en = (0, 0, 0, . . . , 1),
gdzie wektor ej ma wszystkie, poza jedną, współrzędne równe 0, a jedyną współrzędną różna od 0 jest współrzędna j, która jest
równa 1.
Odpowiednio w przestrzeni Mn×1 (R) wektorów kolumnowych o n współrzędnych i przestrzeni M1×n (R) wektorów wierszowych
bazami są układy ekj i ew
j określone w równościach (6.3) i (6.4).
b) Można łatwo przekonać się, że w przestrzeni V rozważanej w Przykładzie 7.1.2 bazę stanowi zarówno układ macierzy
E1 , E2 , E3 jak też układ E1 , S1 , S2 .
Wniosek 6 Zachodzą równości
dim Rn = n;
dim Mm×n (R) = mn.
Definicja 7.4 (Przestrzeń kolumnowa i przestrzeń wierszowa macierzy) Dla macierzy A ∈ Mm×n (R)
oznaczymy przez A1 , . . . , An jej kolumny, a przez a1 , . . . , am jej wiersze:

h



a11
a1n




 a21 
 a2n 



A1 = 
,
.
.
.
,
A
=
n
 .. 
 ..  ∈ Mm×1 (R);
 . 
 . 
am1
amn
i
h
(7.4)
i
a1 = a11 a12 . . . a1n , . . . , am = am1 am2 . . . amn ∈ M1×n (R) .
(7.5)
Przestrzeń rozpiętą przez wektory A1 , . . . , An będziemy nazywać przestrzenią kolumnową macierzy A, a przestrzeń rozpiętą przez wektory a1 , . . . , am — jej przestrzenią wierszową. Symbolicznie będziemy je zapisywać
jako
K(A) = lin{A1 , . . . , An } ⊂ Mm×1 (R),
W (A) = lin{a1 , . . . , am } ⊂ M1×n (R) .
(7.6)
Twierdzenie 19 Dla dowolnej macierzy A ∈ Mm×n (R) zachodzą równości
dim K(A) = dim W (A) = r(A).
(7.7)
Słownie: Dla dowolnej macierzy wymiary jej przestrzeni kolumnowej i przestrzeni wierszowej są równe między
sobą i równają się jej rzędowi.
60
7.2.1
ALiGA — Wykład 7 – 8.
Zastosowanie: jeszcze o niesprzeczności układu równań liniowych
Układ (4.13)
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
.....................................
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm .
można także zapisać w postaci równości wektorowej








a11
a12
a1n
b1





  
 a21 
 a22 
 a2n   b2 




  
x1 
 ..  + x2  ..  + . . . + xn  ..  =  ..  .
 . 
 . 
 .   . 
am1
am2
amn
(7.8)
bm
Rozwiązanie układu polega zatem na wyznaczeniu takich współczynników kombinacji liniowej wektorów kolumn, aby otrzymać wektor prawych stron układu b. Stąd otrzymujemy natychmiast następujący wniosek:
Wniosek 7 Układ równań liniowych z macierzą rozszerzoną [ A | b ] jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy
wektor prawych stron układu b należy do przestrzeni kolumnowej macierzy A.
7.3
7.3.1
Liniowo zależne i liniowo niezależne układy wektorów
Liniowa zależność układu wektorów
Przedyskutujemy teraz zagadnienie, przy jakich warunkach niejednorodny układ równań liniowych jest oznaczony. Ponieważ z równości (7.8) wynika, że ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy przedstawienie wektora
prawych stron w postaci kombinacji liniowej kolumn macierzy układu jest jednoznaczne, zajmiemy się ogólnymi
warunkami, przy których współczynniki kombinacji liniowej układu wektorów są jednoznacznie wyznaczone.
Zauważamy, że jeśli dwie kombinacje liniowe danego układu wektorów v1 , . . . , vk są równe,
λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk = µ1 v1 + µ2 v2 + . . . + µk vk
to
(λ1 − µ1 )v1 + (λ2 − µ2 )v2 + . . . + (λk − µ1 )vk = 0.
A zatem jeśli dwie kombinacje liniowe o różnych współczynnikach wektorów tego układu są równe, to pewna
ich kombinacja liniowa, w której nie wszystkie współczynniki są zerami, jest równa zeru. I tak zagadnienie
jednoznaczności przedstawienia wektora jako kombinacji liniowej wektorów danego układu przekłada się na
zagadnienie możliwości zapisania wektora zerowego jako kombinacji liniowej z niezerowymi współczynnikami.
To prowadzi nas do następującej definicji.
Definicja 7.5 (Liniowo niezależny układ wektorów) Układ v1 , . . . , vk wektorów przestrzeni liniowej V
nazywamy układem liniowo zależnym, jeśli istnieją takie liczby λ1 , . . . , λk , nie wszystkie równe zeru, że
λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk =
k
X
λj vj = 0.
(7.9)
j=1
Jeśli układ nie jest liniowo zależny, to nazywamy go liniowo niezależnym.
Zauważmy, że jeśli jeden z wektorów układu v1 , . . . , vk jest wektorem zerowym, to układ ten jest liniowo
zależny. Rzeczywiście, jeśli na przykład v1 = 0, to kombinacja liniowa
1 · v1 + 0 · v2 + . . . + 0 · vk = 0,
w której jeden ze współczynników jest różny od zera, jest wektorem zerowym. Ponadto, jeśli
λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk = 0
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 18 stycznia 2010 roku)
61
i przyjmując dla prostoty, że λ1 6= 0 (co zawsze można osiągnąć ewentualnie zmieniając numerację wektorów),
to możemy wyrazić wektor v1 za pomocą wzoru
v1 = −
1
λ2 v2 + . . . + λk vk ,
λ1
a więc v1 jest kombinacją liniową pozostałych wektorów tego układu.
W ogólności możemy stwierdzić, że układ wektorów v1 , . . . , vk jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy
jeden z wektorów tego układu jest kombinacją liniową pozostałych.
Przykład 7.3.1 Niech
−2
v1 = 2 ,
0
"
#
1
v2 = −1 ,
0
"
#
1
v3 = −1 .
1
"
#
Wektory v1 , v2 , v3 tworzą układ liniowo zależny, ponieważ v1 + 2v2 + 0 · v3 = 0. Warto jednak zauważyć, że o ile wektor v1 , a także
v2 , da się wyrazić jako kombinacja liniowa pozostałych wektorów, na przykład v1 = −2v2 + 0 · v3 , to wektora v3 nie można wyrazić
w postaci kombinacji liniowej pozostałych dwóch wektorów.
Ta obserwacja przestrzega przed zbyt swobodną interpretacją pojęcia liniowej zależności układu wektorów w stylu „dowolny
wektor liniowo zależnego układu wektorów daje się wyrazić jako kombinacja liniowa pozostałych wektorów”.
Lemat 3 Jeśli wektor v jest kombinacją liniową wektorów układu v1 , . . . , vk , to
lin{v, v1 , . . . , vk } = lin{v1 , . . . , vk }.
Lemat 4 Układ v1 , . . . , vk wektorów przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy
współczynniki każdej liniowej kombinacji wektorów tego układu są jednoznacznie wyznaczone.
Lemat 5 Jeśli układ v1 , . . . , vk wektorów przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny i wektor v nie jest kombinacją liniową wektorów układu v1 , . . . , vk (innymi słowy wektor v nie należy do przestrzeni lin{v1 , . . . , vk }),
to układ {v, v1 , . . . , vk } jest liniowo niezależny.
Z tego lematu można wyprowadzić następujące stwierdzenie.
Stwierdzenie 7 Jeśli W ⊂ V jest dowolną podprzestrzenią wektorową przestrzeni V , to istnieje taka baza
{v1 , . . . , vm } przestrzeni V , że dla odpowiedniego k ¬ m wektory {v1 , . . . , vk } tworzą bazę przestrzeni W .
W szczególności, dla dowolnej podprzestrzeni wektorowej W przestrzeni V zachodzi dim W ¬ dim V , przy
czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy W = V .
7.4
Konstrukcje przestrzeni liniowych — część wspólna i suma przestrzeni
liniowych;
Stwierdzenie 8 Jeśli V1 , V2 ⊂ Mm×n (R) są przestrzeniami liniowymi, to:
a) V1 ∩ V2 ⊂ Mm×n (R) jest przestrzenią liniową, przy czym dim V1 ∩ V2 ¬ min(dim V1 , dim V2 );
b) istnieje najmniejsza przestrzeń liniowa, oznaczana V1 + V2 i nazywana sumą V1 i V2 , która zawiera obie
przestrzenie V1 i V2 , przy czym dim(V1 + V2 ) ¬ dim V1 + dim V2 .
Podkreślmy, że w odróżnieniu od przypadku części wspólnej, suma (teoriomnogościowa) V1 ∪ V2 przestrzeni
liniowych V1 i V2 na ogół nie jest przestrzenią liniową.
7.5
Analiza zbioru rozwiązań układu równań liniowych
Rozważymy układ równań liniowych z macierzą A ∈ Mm×n (R) i wektorem prawych stron b ∈ Rm . Jak wiemy,
układ taki można zapisać w postaci macierzowej równości
Ax = b.
Przypomnijmy, że symbolem R(A, b) oznaczny był zbiór rozwiązań tego układu.
(7.10)
62
ALiGA — Wykład 7 – 8.
Twierdzenie 20 Dla dowolnej macierzy A ∈ Mm×n (R) i dowolnego wektora b ∈ Rm mamy co następuje:
c) Stowarzyszony z układem (7.10) układ jednorodny równań liniowych o macierzy A jest niesprzeczny i zbiór
R(A, 0) rozwiązań układu jednorodnego jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Rn wymiaru n − r(A);
d) Jeśli układ Ax = b ten jest niesprzeczny i x0 ∈ R(A, b) jest pewnym ustalonym rozwiązaniem tego układu,
to
R(A, b) = x0 + R(A, 0) = { x ∈ Rn | x = x0 + w, w ∈ R(A, 0) }.
(7.11)
Posłużyliśmy się tu wygodnym zapisem dla oznaczenia zbioru złożonego z sum ustalonego wektora x0 z wektorami należącymi do wybranego zbioru F (w tym przypadku jako F wzięty jest zbiór R(A, 0)). W takim
przypadku piszemy x0 + F = { x0 + f | f ∈ F }.
7.5.1
Parametryzacja zbioru rozwiązań niejednorodnego układu równań liniowych
Z poprzedzającej dyskusji wynika, że zbiór rozwiązań (niesprzecznego) niejednorodnego układu równań liniowych ma postać
R(A, b) = x0 + R(A, 0) = { x ∈ Rn | x = x0 + w, w ∈ R(A, 0) },
gdzie x0 jest wybranym elementem zbioru R(A, b), a zbiór rozwiązań układu jednorodnego R(A, 0) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Rn . Pokażemy teraz, w jaki sposób wykorzystać to przedstawienie dla otrzymnia
szczegółowego opisu (parametryzacji) elementów zbioru R(A, b).
Definicja 7.6 (Rozmaitość afiniczna) Jeśli V ⊂ Rn jest podprzestrzenia wektorową i x0 ∈
/ V , to zbiór
A = x0 + V = { x ∈ Rn | x = x0 + v, v ∈ V }
(7.12)
będziemy nazywać rozmaitością afiniczną w przestrzeni Rn , a przestrzeń V — przestrzenią kierunkową rozmaitości A.
Mówiąc obrazowo, rozmaitość afiniczna A jest „przesunietą o wektor x0 ” przestrzenią V .
7.5.2
Konstrukcja bazy przestrzeni rozwiązań układu jednorodnego
Rozważmy układ równań liniowych (4.13) o macierzy rozszerzonej [ A | b ] i niech rząd macierzy układu będzie
równy r, r(A) = r. Wiemy zatem, że macierz A jest równoważna macierzy zredukowanej o postaci


a1k . . . a1l . . . a1p . . . a1q . . . a1s . . . a1n
 0 ... a
a2q . . . a2s . . . a2n 
2l . . . a2p . . .




a3q . . . a3s . . . a3n 
 0 . . . 0 . . . a3p . . .


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



A=
 0 . . . 0 . . . 0 . . . ar−1q . . . ar−1s . . . ar−1n 
 0 ... 0 ... 0 ...
0
. . . ars . . . arn 




0
...
0
...
0 
 0 ... 0 ... 0 ...


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 ... 0 ... 0 ...
0
...
0
...
0
(7.13)
gdzie wyrazami wiodącymi są a1k , a2l , . . . , ars . Dla uproszczenia opisu tej konstrukcji przyjmiemy, że r = s,
to znaczy, że wyrazy wiodące występują w kolejnych kolumnach, poczynając od pierwszej i kończąc na r-tej.
Przy tym założeniu macierz zredukowana ma postać


a11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a1n
 0 a


22 . . . . . . . . . . . . . . a2n 


 0
0 a33 . . . . . . . . . a3n 


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
A=
0
0
arr . . . arn 
 0


0
0
0 ... 0 
 0



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
0
0
0 ... 0
(7.14)
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 18 stycznia 2010 roku)
63
Przypomnijmy, że wyrazy wiodące są różne od zera,
a11 6= 0,
a22 6= 0,
a33 6= 0,
...,
arr 6= 0.
Wówczas wyjściowy układ (4.13) jest równoważny układowi o postaci
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1r xr + . . . + a1n xn = 0
a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2r xr + . . . + a2n xn = 0
........................................
arr xr + . . . + arn xn = 0
(7.15)
złożonemu z r równań. W tej sytuacji jest naturalne przyjąć, że niewiadomymi wolnymi w układzie (7.15) są
niewiadome xr+1 , xr+2 , . . . , xn — oznaczmy k = n − r liczbę niewiadomych wolnych. Możemy zatem nadać
dowolne wartości tym k niewiadomym wolnym, a następnie wyznaczyć jednoznacznie z tego układu niewiadome
x1 , x2 , . . . , xr metodą podstawiania wstecznego.
Podstawmy teraz kolejno jedynkę za jedną z niewiadomych wolnych i zero za wszystkie pozostałe i wyznaczmy odpowiadające takiemu wyborowi wartości niewiadomych głównych. Zaczynając od podstawienia
xr+1 = 1,
xr+2 = xr+3 = . . . = xn = 0,
(7.16)
do ostatniego z równań w (7.15) otrzymujemy
arr xr + ar,r+1 = 0.
(7.17)
Ze względu na arr 6= 0 otrzymujemy z tego równania
xr = −
ar,r+1
.
arr
(7.18)
Kontynuując metodę podstawiania wstecz wstawiamy tę wartość xr i ustalone przez (7.16) wartości niewiadomych wolnych xr+1 , xr+2 , . . . , xn do przedostatniego równania (7.15) otrzymując stąd
ar−1,r−1 xr−1 + ar−1, r xr + ar−1, r+1 = 0;
(7.19)
co pozwala wyznaczyć
xr−1 =
−1
ar−1,r−1
ar−1, r xr + ar−1, r+1 .
(7.20)
W ten sposób przechodzimy krok po kroku przez kolejne równania układu (7.15) aż do równania pierwszego,
skąd wyznaczamy niewiadomą x1 z zależności
a11 x1 = −a1 2 x2 − a1 3 x3 − . . . − a1,r+1 .
(7.21)
Otrzymane w ten sposób rozwiązanie w1 układu (7.15) jest jednoznacznie wyznaczone przez nadanie niewiadomym wolnym wartości określonych wzorami (7.16). Zmieniając teraz podstawienie z (7.16) na
xr+1 = 0,
xr+2 = 1,
xr+3 = . . . = xn = 0,
(7.22)
i wyznaczając pozostałe niewiadome podobnie jak powyżej metodą podstawienia wstecznego otrzymamy jako
rozwiązanie wektor w2 , którego pierwsze r współrzędnych oznaczymy przez x′1 , x′2 , . . . , x′r . Możemy kontynuować to postępowanie, za każdym razem nadając kolejnej z niewiadomych wolnych xr+1 , xr+2 , . . . , xn wartość
64
ALiGA — Wykład 7 – 8.
1, a pozostałe przyrównując do zera. Po n − r krokach otrzymamy układ wektorów rozwiązań w1 , w2 , . . . , wk
o postaci
 
 
 
x1
x′1
x′′1
 
 ′
 ′′ 
x2 
x2 
x2 
 .
.
 . 
 .
.
 . 
 .
.
 . 
 
 ′
 ′′ 
xr 
xr 
xr 





w1 =   ,
w2 =   ,
...,
wk = 
(7.23)
 0 .
1
0
 
 
 
 . 
0
1
 .. 
 .
 
 
 .
0
 
 .
 
0
..
0
.
1
Biorąc pod uwagę ostatnie k współrzędnych tych wektorów łatwo przekonać się, że są one liniowo niezależne.
Ponadto rozwiązanie układu (7.15), w którym zmienne wolne mają dowolnie wybrane wartości u1 , . . . , uk ,
xr+1 = u1 ,
xr+2 = u2 ,
. . . xr+k = uk ,
(7.24)
można przedstawić jako kombinację liniową
w=
k
X
uj wj .
(7.25)
j=1
W ten sposób dotarliśmy do następującego opisu przestrzeni rozwiązań układu jednorodnego, którego postacią
zredukowaną jest układ (7.15).
Twierdzenie 21 Jeśli A ∈ Mm×n (R) jest macierzą rzędu r, to wektory w1 , . . . , wk , gdzie k = dim R(A, 0) =
n − r, skonstruowane powyżej i przedstawione wzorem (7.23), tworzą bazę przestrzeni R(A, 0) rozwiązań jednorodnego układu równań o macierzy A.
7.5.3
Parametryczne przedstawienie rozwiązań niejednorodnego układu równań liniowych
W połączeniu z Twierdzeniem 20 możemy teraz sformułować następujący ważny wynik.
Twierdzenie 22 Jeśli A ∈ Mm×n (R) jest macierzą rzędu r, b ∈ K(A) ⊂ Rm wektorem z przestrzeni rozpiętej
przez kolumny macierzy A, to zbiór R(A, b) ⊂ Rn rozwiązań układu niejednorodnego Ax = b można opisać w
następujący sposób:
Niech x0 ∈ R(A, b) będzie dowolnie ustalonym elementem tego zbioru i niech wj , j = 1, . . . , k = n − r będzie
bazą przestrzeni R(A, 0) rozwiązań stowarzyszonego układu jednorodnego opisaną wzorami (7.23). Wówczas
każdy element zbioru R(A, b) można wyrazić w postaci
x = x0 +
k
X
uj wj ,
(7.26)
j=1
gdzie liczby u1 , . . . , uk ∈ R są jednoznacznie wyznaczone.
Definicja 7.7 (Afiniczne współrzędne w zbiorze R(A, b)) Jeśli punkt x0 i wektory w1 , . . . , wk są ustalone, to dowolny punkt x ∈ R(A, b) jest jednoznacznie wyznaczony przez liczby u1 , . . . , uk za pomoca wzoru
(7.26). Liczby te będziemy nazywać afinicznymi współrzędnymi punktu R(A, b), a układ x0 , w1 , . . . , wk —
afinicznym układem odniesienia w R(A, b).
Uwaga. W przypadku układu równań, dla którego współczynniki wiodące nie układają się według wzorca
zgodnego z macierzą ze wzoru (7.14), konstrukcja bazy przestrzeni rozwiązań niewiele odbiega od podanej
powyżej. Jeśli współczynniki wiodące występują w kolumnach 1, p1 , p2 , . . . , pr−1 , gdzie 1 < p1 < p2 < . . . <
pr−1 ¬ n, to jako niewiadome wolne obieramy pozostałe k = n − r niewiadomych i wyznaczamy rozwiązanie
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 18 stycznia 2010 roku)
65
podstawiając jako ich wartości zera i jedną jedynkę. Przesuwając położenie jedynki na kolejne miejsca odpowiadające niewiadomym wolnym otrzymujemy k wektorów bazowych przestrzeni rozwiązań, przy czym w
kolejnych wektorach na jednym (zawsze innym) miejscu występuje jedynka, a na pozostałych miejscach zera.
Nie jest trudno przekonać się, że tak otrzymany układ wektorów jest liniowo niezależny i że każde rozwiązanie
można otrzymać jako kombinację liniową tego układu. Szczegóły tej konstrukcji najłatwiej przyswoić sobie na
konkretnych przykładach.