Z czego należy się przygotowywać do 1. kolokwium z Algebry

Z czego należy się przygotowywać
do 1. kolokwium z Algebry liniowej 2
(Algebry z geometrią analityczną 2)
Teoria grup
(numery zadań odnoszą się do numerów na liście p. dr Janickiej, umieszczonej
na stronie):
1.2, 1.3, 2.1, 2.2
W zadaniach 1.2 a), c) oraz 2.2 pokazanie, że dany zbiór jest grupą sprowadza
się do pokazania, że jest podgrupą jakiejś znanej z wykładu grupy (czyli
sprawdzenia warunku podanego na wykładzie). W pozostałych zadaniach
(podpunktach) trzeba sprawdzić wszystkie aksjomaty grupy.
2.5, 2.6, 2.10.
Przestrzenie liniowe
(te numery odnoszą się do list zadań umieszczonych na stronie – jeśli ktoś
korzysta ze skryptu Jurlewicz i Skoczylasa, to tam zadania są te same, ale
numeracja inna):
1.2, 1.5, 1.6, 2.2–2.4, 2.6, 2.7 (było na wykładzie), 3.1–3.3,
3.5: W każdym podpunkcie mamy k wektorów przestrzeni k-wymiarowej.
Żeby one tworzyły bazę, wystarczy, żeby były liniowo niezależne. Musimy
więc sprawdzić, dla jakich p są lin. niez. Np. w podpunkcie a) warunek lin.
niezależności wygląda tak:
α(p − 2, −p) + β(3, 2 + p) = (0, 0) pociąga α = β = 0.
Z równości po lewej wynika układ równań
(
(p − 2)α + 3β = 0
−pα + (2 + p)β = 0
Jeśli ten układ ma dokł. jedno rozwiązanie, to wektory są lin. niez. To,
czy ma jedno rozwiązanie sprawdzamy, licząc wyznacznik macierzy układu i
przyrównując go do zera:
p−2
3
−p 2 + p
= p2 + 3p − 4 = 0.
Jeśli jest różny od zera (tutaj dla p 6= 1, −4), to jest dokł jedno rozw.
równania, czyli wektory są lin. niezależne, czyli są bazą.
3.6, 4.1–4.3,
4.4: Rozwiązujemy to w ten sposób – jeśli wektorów jest tyle, ile był równy
wymiar przestrzeni, to należy zapisać wyznacznik, którego wierszami będą
współrzędne wektorów w bazie standardowej. Jeśli ten wyznacznik będzie
różny od 0, to wektory są liniowo niezależne, czyli to jest baza. W każdym
innym przypadku (wyznacznik równy 0 lub liczba wektorów inna niż wymiar
przestrzeni) to nie jest baza. (Taka metoda wynika z twierdzenia, które
pojawi się na ostatnim wykładzie przed kolokwium).
4.6: Należy napisać macierze przejścia z bazy standardowej do B (niech to
będzie macierz P ) oraz z bazy standardowej do B 0 (P 0 ). Wtedy szukana
macierz przejścia z B do B 0 jest równa P −1 P 0 (był taki wniosek z twierdzenia
o wpływie zmiany bazy na współrzędne wektora na wykładzie).
4.7, 4.8, 5.6 (robi się jak 4.4)
5.7, 5.9: Te zadania rozwiązujemy podobnie jak poprzednie, tyle że zamiast
liczyć wyznacznik, należy obliczyć rząd macierzy, którą dostaniemy, np. przez
sprowadzenie jej operacjami elementarnymi na wierszach do macierzy schodkowej.
Wtedy rząd macierzy (czyli liczba schodków) będzie równy liczbie liniowo
niezależnych wektorów (czyli wymiarowi przestrzeni przez nie generowanej).