Zadania - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra InŜynierii Systemów Sterowania
Teoria sterowania
Sterowalność i obserwowalność systemów dynamicznych
Zadania do ćwiczeń laboratoryjnych 4
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inŜ.
Robert Piotrowski, dr inŜ.
Gdańsk
Zadanie 1
Liniowy system stacjonarny opisany jest schematem blokowym postaci:
a).
7
5
x2(0)
u(t)
x2(t)
∫
Σ
6
x1(0)
x1(t)
∫
2
Σ
y(t)
-3
-4
Rysunek 1. Schemat systemu dynamicznego
b).
x10
u[k]
Σ
2
x1[k+1]
x20
x1[k]
z–1
– 10
Σ
x2[k+1]
z–1
x2[k]
3
Σ
6
5
4
Rysunek 2. Schemat systemu dynamicznego
c).
U(s)
u(t)
∫
Σ
x1(0)
x1(t)
-4
2
∫
Σ
-2
x2(0)
x2(t)
4
∫
Σ
x3(0)
x3(t)
5
Y(s)
y(t)
-3
Rysunek 3. Schemat systemu dynamicznego
NaleŜy:
1. Znaleźć opis w przestrzeni stanu (równania stanu i wyjścia).
2. Zbadać analitycznie sterowalność systemu korzystając z testu sterowalności
Kalmana.
y[k]
3. Zbadać
analitycznie
obserwowalność
systemu
korzystając
z
testu
obserwowalności Kalmana.
4. Sprawdzić w środowisku MATLAB wyniki uzyskane w punktach 2 i 3.
Zadanie 2
Liniowy system stacjonarny opisany jest równaniami stanu i wyjść postaci:
a).
x& 1 (t ) = −
3
1
1
⋅ x 1 (t ) − ⋅ x 2 (t ) + ⋅ x 3 (t ) + u 1 (t ) + u 2 (t )
2
2
2
1
5
1
x& 2 (t ) = ⋅ x 1 (t ) − ⋅ x 2 (t ) − ⋅ x 3 (t ) + u 1 (t )
2
2
2
x& 3 (t ) = x 1 (t ) − x 2 (t ) − 2 ⋅ x 3 (t ) − u 1 (t ) + 2 ⋅ u 2 (t )
(1)
y 1 (t ) = x1 (t ) + x 2 (t ) − x 3 (t )
y 2 (t ) = x1 (t ) + 2 ⋅ x 2 (t ) + x 3 (t )
b).
x 1 [k + 1] = 2 ⋅ x 1 [k ] + 4 ⋅ x 3 [k ] + 3 ⋅ u 2 [k ]
x 2 [k + 1] = − x 2 [k ] + 3 ⋅ x 3 [k ] − x 4 [k ] + 2 ⋅ u 1 [k ] + u 2 [k ]
x 3 [k + 1] = 6 ⋅ x 1 [k ] + x 2 [k ] + u 1 [k ]
x 4 [k + 1] = 2 ⋅ x 1 [k ] − x 3 [k ] + 5 ⋅ x 4 [k ] + 2 ⋅ u 2 [k ]
(2)
y 1 [k ] = 4 ⋅ x1 [k ] − x 2 [k ] + 2 ⋅ x 3 [k ] + u 1 [k ]
y 2 [k ] = 3 ⋅ x1 [k ] + 5 ⋅ x 2 [k ] + x 4 [k ] + u 2 [k ]
NaleŜy:
1. Podać macierze A, B, C i D.
2. Zbadać analitycznie sterowalność systemu korzystając z testu sterowalności
Kalmana.
3. Zbadać
analitycznie
obserwowalność
systemu
korzystając
obserwowalności Kalmana.
4. Sprawdzić w środowisku MATLAB wyniki uzyskane w punktach 2 i 3.
z
testu
Zadanie 3
Na ciało o masie m, poruszające się w środowisku bez tarcia, działa zmienna w
czasie siła u(t). Ruch ciała opisany jest równaniami postaci:
x&1 (t ) = x 2 (t )
m ⋅ x& 2 (t ) = u (t )
(3)
gdzie:
x1(t) – droga przebyta przez ciało,
x2(t) – prędkość ciała.
NaleŜy analitycznie zbadać obserwowalność tego układu korzystając z testu
obserwowalności Kalmana, gdy wielkością wyjściową jest:
1. Droga przebyta przez ciało.
2. Prędkość tego ciała.
Sprawdzić w środowisku MATLAB uzyskane wyniki.