fragment - Wydawnictwo UMK

·
Ro
b
e
r
tS
k
i
b
aP
a
t
r
y
kMi
z
i
u
ł
a
Z
B
I
Ó
RZ
A
D
A
Ń
ZA
NA
L
I
Z
YI
A
L
G
E
B
R
Y
T
o
r
u
ń2
0
1
3
Recenzenci
prof. dr hab. Grzegorz Graff
prof. dr hab. Artur Michalak
Redaktor
Elżbieta Kossarzecka
Projekt okładki
Jacek Owczarz, Studio Red Krasnal
c Copyright by Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Mikołaja Kopernika
Toruń 2013
ISBN 978–83–231–3165–6
Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Mikołaja Kopernika
Redakcja: ul. Gagarina 5, 87-100 Toruń
tel. 56 611 42 95, fax 056 611 47 05
e-mail: [email protected]
www.wydawnictwoumk.pl
Dystrybucja: ul. Reja 25, 87-100 Toruń
tel. 56 611 42 38, e-mail: [email protected]
Druk: Wydawnictwo Naukowe UMK
ul. Gagarina 5, 87-100 Toruń
Spis treści
Wstęp
7
1. Analiza matematyczna – zadania
1.1. Ciągi i szeregi liczbowe oraz funkcyjne . . . .
1.2. Ciągi rekurencyjne . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Szeregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Rachunek różniczkowy . . . . . . . . . . . . .
1.5. Rachunek całkowy . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Funkcje analityczne . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Własności algebraiczne i topologiczne funkcji
1.8. Funkcje wielu zmiennych . . . . . . . . . . . .
1.9. Inne zadania z analizy . . . . . . . . . . . . .
2. Algebra – zadania
2.1. Macierze . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Wyznaczniki i rzędy . . .
2.1.2. Własności macierzy . . .
2.1.3. Równania macierzowe . .
2.1.4. Inne zadania o macierzach
2.2. Przestrzenie liniowe . . . . . . . .
2.3. Wielomiany . . . . . . . . . . . .
2.4. Grupy . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Inne zadania z algebry . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
11
14
16
19
23
24
26
27
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
31
31
34
36
37
40
42
43
44
Analiza matematyczna – rozwiązania
1.1. Ciągi i szeregi liczbowe oraz funkcyjne . . . .
1.2. Ciągi rekurencyjne . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Szeregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Rachunek różniczkowy . . . . . . . . . . . . .
1.5. Rachunek całkowy . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Funkcje analityczne . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Własności algebraiczne i topologiczne funkcji
1.8. Funkcje wielu zmiennych . . . . . . . . . . . .
1.9. Inne zadania z analizy . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
47
47
58
68
76
89
110
113
121
125
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
Spis treści
Algebra – rozwiązania
2.1. Macierze . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Wyznaczniki i rzędy . . .
2.1.2. Własności macierzy . . .
2.1.3. Równania macierzowe . .
2.1.4. Inne zadania o macierzach
2.2. Przestrzenie liniowe . . . . . . . .
2.3. Wielomiany . . . . . . . . . . . .
2.4. Grupy . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Inne zadania z algebry . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
135
135
135
146
156
162
169
176
181
187
3. Kompendium
191
3.1. Analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.2. Algebra liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Oznaczenia
197
Bibliografia
199
Wstęp
Skrypt, który oddajemy do rąk Czytelników, zawiera około 260 zadań opatrzonych
w bardzo szczegółowe rozwiązania. Obejmuje materiał poświęcony zarówno analizie matematycznej, jak i algebrze liniowej, który obowiązuje na uniwersytetach i politechnikach.
Niniejszy skrypt skierowany jest do osób szczególnie dociekliwych i bardzo zainteresowanych matematyką.
Zbiór zadań składa się z czterech głównych rozdziałów podzielonych na podrozdziały.
Rozdział pierwszy poświęcony jest analizie matematycznej i obejmuje następujące zagadnienia: ciągi i szeregi liczbowe, rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej i wielu
zmiennych oraz funkcje analityczne. Natomiast rozdział drugi porusza takie zagadnienia, jak: macierze i wyznaczniki, przestrzenie i przekształcenia liniowe, wielomiany oraz
grupy. Z kolei rozdział trzeci oraz czwarty zawierają szczegółowe rozwiązania do zadań
z rozdziału pierwszego i drugiego. Ponadto w piątym rozdziale podaliśmy niezbędne definicje i fakty potrzebne do rozwiązania zadań lub zrozumienia ich rozwiązań zawartych
w zbiorze. Jednakże główną uwagę skupiliśmy na podaniu mało znanych pojęć i faktów
z algebry liniowej, które będą bardzo użyteczne i niezbędne do rozwiązania zadań z tego
zbioru.
Zadania zawarte w naszym skrypcie pochodzą z różnych zbiorów zadań i czasopism
matematycznych. Wykorzystywaliśmy też listy zadań z międzynarodowych olimpiad matematycznych dla studentów: IMC, VJIMC, WLPMC ([28, 26, 27]). Źródła zostały wymienione szczegółowo na końcu książki. Można tam również znaleźć listę zbiorów zadań,
które gorąco polecamy Czytelnikom do dalszej lektury. Wszystkie symbole i definicje występujące w tym zbiorze są standardowe i powszechnie stosowane, ale na wszelki wypadek
niektóre z nich zostały zebrane i wyjaśnione w dziale Oznaczenia.
Jako autorzy chcielibyśmy podkreślić, że rozwiązania zadań umieszczone w tym zbiorze nie zawsze będą najkrótsze i najelegantsze. Pisząc ten zbiór zadań, a w szczególności rozwiązania, kierowaliśmy się tym, aby zaproponowane rozwiązanie zadania pomogło
Czytelnikowi lepiej zrozumieć omawianą tematykę i zauważyć związki pomiędzy różnymi
pojęciami, czasami bardzo odległymi. Co więcej, chcemy zwrócić uwagę Czytelnikowi, że
autorzy celowo nie umieszczali zadań mających charakter obliczeniowy, a raczej skupili się na zebraniu zadań, których sformułowania są oryginalne i zmuszają do głębszego
zrozumienia teorii. Mamy nadzieję, że zadania z tego zbioru przyczynią się do szybszego
i głębszego zrozumienia zagadnień poruszanych na wykładach z analizy matematycznej
i algebry liniowej.
Zdajemy sobie sprawę z tego, że skrypt nie jest pozbawiony usterek. Dlatego też uprzejmie prosimy Czytelników o przesyłanie uwag o zadaniach zawartych w tym zbiorze oraz
7
8
Wstęp
informacji o zauważonych błędach na adres: [email protected] lub [email protected].
Dzięki Wam uda nam się go udoskonalić.
Autorzy dziękują studentom Wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu, którzy byli bardzo krytycznymi recenzentami zadań zamieszczonych w tej książce i znaleźli też sporo błędów. Co więcej, sporo rozwiązań zawartych
w tym zbiorze pochodzi właśnie od Nich! Szczególne podziękowania składamy następującym studentom: Bartoszowi Bieganowskiemu, Aureli Bartnickiej, Danielowi Strzeleckiemu, Jakubowi Siemianowskiemu, Sebastianowi Ruszkowskiemu, Mariuszowi Kanieckiemu
oraz Januszowi Schmude.
Dziękujemy również swoim Rodzinom: Robert Skiba – żonie Ani i dwóm małym synkom: Jakubowi i Rafałowi, Patryk Miziuła – mamie Bożenie i narzeczonej Judycie. To
dzięki ich życzliwemu wsparciu i zrozumieniu udało się doprowadzić do końca projekt
napisania tej książki.
Toruń, grudzień 2013
Autorzy
1. Analiza matematyczna
– zadania
1.1.
Ciągi i szeregi liczbowe oraz funkcyjne
Zadanie 1.1. Niech x1 , . . . , xn ­ −1 i
n
P
i=1
n
X
x3i = 0. Udowodnić, że
xi ¬
i=1
n
.
3
Zadanie 1.2. Niech f : [0, 1] → [0, 1] będzie funkcją ciągłą oraz niech
x0 ∈ [0, 1],
xn+1 = f (xn ) dla n ­ 0.
Udowodnić, że ciąg (xn ) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
lim (xn+1 − xn ) = 0.
n→∞
Zadanie 1.3. Niech (xi ) będzie ciągiem malejącym o wyrazach dodatnich.
(a) Udowodnić, że
v
u n
n
X
uX
x
2
t
√i .
xi ¬
i
i=1
i=1
(b) Pokazać, że istnieje taka stała C ∈ R, że
v
u ∞
∞
∞
X
X
1 uX 2
√ t
xi ¬ C
xi .
m i=m
m=1
i=1
Zadanie 1.4. Dany jest ciąg (xn ). Ciąg (yn ) jest zdefiniowany następująco:
yn = xn−1 + 2xn .
Udowodnić, że ciąg (yn ) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest ciąg (xn ).
9
10
1. Analiza matematyczna – zadania
Zadanie 1.5. Wyznaczyć sumę
4
X
2x2i + 1
,
(x2i − 1)2
i=1
gdzie xi , i = 1, . . . , 4 są pierwiastkami równania x4 − x + 1 = 0.
Zadanie 1.6. Obliczyć
1
lim
n→∞ n
Qn
k=1 (k
+ n1 )
!n
n!
.
Zadanie 1.7. Niech (fn ) będzie ciągiem funkcji rzeczywistych określonych na zbiorze
[0, ∞) zdefiniowanym następująco:
p
√
f1 (x) = x,
fn+1 (x) = x + fn (x) dla n ­ 1.
(a) Znaleźć punktową granicę f (x) = lim fn (x) dla x ∈ [0, ∞).
n→∞
(b) Pokazać, że fn ⇒ f na zbiorze [K, ∞) dla dowolnego K > 0, ale nie na zbiorze [0, ∞).
Zadanie 1.8. Obliczyć
v
u n
uY
n
lim t
n→∞
k=1
2 !
k
1+
.
n
Zadanie 1.9. Niech x ­ 1. Pokazać, że
√
lim (2 n x − 1)n = x2 .
n→∞
Zadanie 1.10. Udowodnić, że
√
(2 n n − 1)n
= 1.
n→∞
n2
lim
Zadanie 1.11. Niech (xn ) będzie rosnącym, nieograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych o tej własności, że
1
4 (xn
+ xn+1 + xn+2 + xn+3 ) ∈ {xn , xn+1 , xn+2 , xn+3 }
dla dowolnego n ∈ N. Udowodnić, że ciąg (xn+1 /xn ) jest zbieżny i znaleźć jego granicę.
Zadanie 1.12. Znaleźć granicę
n
1
1
1
lim √
+√
+ ... + √
.
n→∞
n2 + 1
n2 + 2
n2 + n
Zadanie 1.13. Znaleźć granicę
1
1
1
+ 2 + ... +
2
3
5
(2k − 1)2
.
1
1
1
1
+
+
+
.
.
.
+
22
42
62
(2k)2
1+
lim
n→∞
1.2. Ciągi rekurencyjne
11
Zadanie 1.14. Niech n ∈ N, n > 0. Obliczyć
n
X
k=1
k+4
n
.
(k + 1)(k + 2)(k + 3) k
Zadanie 1.15. Niech n ∈ N, n > 0. Udowodnić, że
b n−1 c 2
X
n
5k .
2k + 1
n−1 2
k=0
Zadanie 1.16. Niech x ∈ R będzie liczbą niewymierną. Udowodnić, że zbiór
Sx = {k + lx | k, l ∈ Z}
jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych.
√
Zadanie 1.17. Udowodnić, że dla każdej
liczby niewymiernej x ∈ (0, 2) liczba
jest punktem skupienia ciągu sin(nπx) .
1.2.
Ciągi rekurencyjne
Zadanie 1.18. Ciąg (xn ) jest zdefiniowany rekurencyjnie:
x0 = 0,
x1 = 1,
xn+3 = 3xn+2 − 3xn+1 + xn dla n ­ 0.
x2 = 4,
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu (xn ).
Zadanie 1.19. Ciąg (xn ) jest określony rekurencyjnie:
xn
xn+1
x0 = x1 = x2 = 1,
det
= n! dla n ­ 0.
xn+2 xn+3
Udowodnić, że wszystkie elementy ciągu (xn ) są liczbami naturalnymi.
Zadanie 1.20. Ciąg (xn ) jest zadany rekurencyjnie:
x0 = 1,
√
xn+1 = 3xn + bxn 5c dla n ­ 0.
Obliczyć x2007 .
Zadanie 1.21. Niech ciąg (xn ) będzie zadany rekurencyjnie:
x1 = 1,
√
3xn + 1
xn+1 = √
dla n ­ 1.
3 − xn
Obliczyć
2013
X
n=1
xn .
3
2
12
1. Analiza matematyczna – zadania
Zadanie 1.22. Udowodnić, że ciąg (xn ) zadany rekurencyjnie w następujący sposób:
x1 = 1,
1
2 xn +
dla n ­ 1
2
xn
xn+1 =
jest zbieżny.
Zadanie 1.23. Zbadać zbieżność ciągu (xn ) określonego w następujący sposób:
x0 = 3,
1
dla n ­ 0.
x2n − xn + 4
xn+1 =
Zadanie 1.24. Udowodnić, że ciąg (xn ) zadany rekurencyjnie w następujący sposób:
x1 = 0,
xn+2 = 2−xn +
x2 = 2,
1
dla n ­ 1
2
jest zbieżny i znaleźć jego granicę.
Zadanie 1.25. Udowodnić, że ciąg (xn ) zadany rekurencyjnie w następujący sposób:
q
x0 = a ­ 0,
xn = 2 xn−1 − ln(1 + xn−1 ) dla n ­ 1
jest zbieżny.
Zadanie 1.26. Niech a1 = 1 oraz an =
n−1
1X
ak an−k dla n ­ 2. Udowodnić, że
n
k=1
(a) lim sup
√
n
an ­
2
,
3
√
n
an ¬
7
.
10
n→∞
(b) lim sup
n→∞
Zadanie 1.27.
(a) Niech (an ) będzie ciągiem liczb rzeczywistych spełniającym warunki:
a1 = 1,
an+1 >
Udowodnić, że ciąg
3
an dla n ­ 1.
2
an
3 n−1
2
ma skończoną granicę lub jest rozbieżny do +∞.
(b) Pokazać, że dla dowolnego α > 1 istnieje taki ciąg (an ), że
a1 = 1,
an+1 >
oraz
lim
n→∞
3
an dla n ­ 1
2
an
3 n−1
2
= α.