Analiza matematyczna 1 Lista 6 (1) Ze wzoru na pochodną funkcji

Analiza matematyczna 1
Lista 6
(1) Ze wzoru na pochodną funkcji odwrotnej wyprowadzić wzory na pochodne
funkcji arc cos i arcctg.
(2) Oblicz pochodne funkcji z definicji:
2
x2
(3) Sprawdź z definicji, czy podana funkcja ma pochodną w punkcie a:
2x2 + 3x + 4;
f (x) = x1/3 ; a = 0;
f (x) = |x|−x, a = 0;
f (x) = |x+3|, a = 3;
f (x) = |x−3|, a = 3;
1
,a = 0
x2
(4) Oblicz pochodne podanych funkcji zmiennej x, wykorzystując odpowiednie
reguły:
f (x) =
2+x
ln(
),
3−x
2 2x2 +3
x e
,
3x2
,
(2 + x2 )1/2
2
arctg(x ),
arc cos
1−x
1+x
;
10x
2
+x
.
(5) Niech f (x) = x2 dla x ­ 0 i f (x) = −x2 dla x < 0. Oblicz f 0 (x) dla każdego
x. Czy istnieje f 00 (0)?
(6) Różniczkując obustronnie równości, znajdź dy/dx, gdy
y2 +
2
− x2 y 2 + 3x + 2 = 0;
y
x = y ln(xy)
(7) Znajdź równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f w podanym punkcie:
f (x) = x2 , (2, −4);
f (x) =
√
x, (4, 2);
f (x) = sin x, (0, 0)
(8) Zbadaj przebieg funkcji (gdzie rośnie i maleje, lokalne ekstrema, przedziały
wypukłości w górę i w dół, punkty przegięcia, tzn. punkty, w których zmienia sie wypukłość, granice w końcach przedziałów dziedziny) i naszkicuj
wykres:
2x5 − 5x4 + 3;
2x6 − 3x5 ;
x2
x
;
−4
1
;
1 + x2
x2
;
1 + x2
x2
.
ex
(9) Udowodnić, że ( x1 + 13 ) ln(1 + x) < 1 dla 0 < x ¬ 1.
x
(10) Udowodnić nierówności 1+x
¬ ln(1 + x) ¬ x dla x > −1, a następnie
udowodnić istnienie granicy
2
e−(1/2)x ;
ln(x2 + 4);
1 1
1
+ + · · · + − ln n),
2 3
n
pokazując, że rozważany ciąg jest malejacy i ograniczony.
γ = lim(1 +
1
2
(11) Odpowiednio przekształcając i korzystając z reguły de l’Hospitala oblicz
granice:
lim xx ;
x→0+
1
lim x 1−x ;
x→1
lim (
x→0
1 tg x
) ;
x2
lim
x→∞
√
x
x, ;
lim
x→0
x − sin x
.
x3
(12) Udowodnić, że
(a) wśród prostokątów o tym samym obwodzie kwadrat ma najwieksze
pole,
(b) wśród trójkątów o tym samym obwodzie i stałej podstawie trójkąt
równoramienny ma najwieksze pole,
(c) wśród trójkątów o tym samym obwodzie trójkąt równoboczny ma najwieksze pole.
(13) Dane są dwa punkty P, Q położone na płszczyźnie nad osią X. Znaleźć na
osi X punkt R taki, że suma odległości P R+RQ jest najmniejsza. Pokazać,
że kąty ostre otworzone przez odcinki P R i RQ z osia X są równe.