O logicznych własnosciach komputerowych arytmetyk Z

Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
O logicznych własnościach komputerowych
arytmetyk
Z badań nad arytmetyką skończoną
Michał Krynicki
Wydział Matematyczno-Przyrodniczy
Szkoła Nak Ścisłych
Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego w Warszawie
ArgDiaP, 19 grudnia 2009
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Outline
1
Wprowadzenie
2
Zbiory rekurencyjne
3
logika struktur skończonych
4
Teoria i jej własności
5
Arytmetyki klasyczne
6
Arytmetyka skończona
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Metoda pracy w logice formalnej
Formalizujemy język.
Określamy rzeczywistości do których się on odnosi.
Definiujemy relację między językiem a rzeczywistościami.
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Metoda pracy w logice formalnej
Formalizujemy język.
Określamy rzeczywistości do których się on odnosi.
Definiujemy relację między językiem a rzeczywistościami.
Pozwala to na zdefiniowanie podstawowych pojęć semantycznych –
prawdziwość, tautologiczność
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
System dedukcyjny
Formalizujemy pojęcie dowodu z finitarnymi regułami
wnioskowania.
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
System dedukcyjny
Formalizujemy pojęcie dowodu z finitarnymi regułami
wnioskowania.
Zarówno w przypadku klasycznego rachunku zdań jak i tzw.
rachunku predykatów zachodzi następujące
Twierdzenie (o pełności)
Istnieje „efektywnie wypisywalny” system aksjomatów, z którego
wywodliwe są wszystkie tautologie i tylko one.
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
System dedukcyjny
Formalizujemy pojęcie dowodu z finitarnymi regułami
wnioskowania.
Zarówno w przypadku klasycznego rachunku zdań jak i tzw.
rachunku predykatów zachodzi następujące
Twierdzenie (o pełności)
Istnieje „efektywnie wypisywalny” system aksjomatów, z którego
wywodliwe są wszystkie tautologie i tylko one.
Efektywnie wypisywalny ≡ rekurencyjny
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Zbiory rekurencyjne i przeliczalnie rekurencyjne
Definicja
Zbiór X ⊆ U jest rekurencyjny jeśli istnieje algorytm, który dla
każdego elementu a ze zbioru U daje w skończonym czasie
poprawną odpowiedź na pytanie „czy a ∈ X ?”.
Definicja
Zbiór X ⊆ U jest rekurencyjnie przeliczalny jeśli istnieje algorytm,
który dla każdego elementu a ∈ X daje w skończonym czasie
pozytywną odpowiedź na pytanie „czy a ∈ X ?”, jeśli a ∈ X oraz
działa nieskończenie długo (tzn nie zatrzymuje się) jeśli a 6∈ X .
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Ważne przykłady
Zbiorami rekurencyjnymi są:
Zbiór tautologii klasycznego rachunku
Relacja „ciąg a jest dowodem zdania ϕ”
Rutynowe aksjomatyki dla rachunku predykatów
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
zbiory rekurencyjne
Wniosek
Zbiór tautologii rachunku predykatów jest rekurencyjnie
przeliczalny.
Twierdzenie
Jeśli zbiory X ⊆ U i U − X są rekurencyjnie przeliczalne, to są
rekurencyjne.
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
logika struktur skończonych
Świat komputerów to świat obiektów skończonych!
Czy ograniczając się do świata struktur skończonych zmieniają się
prawa logiki?
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
logika struktur skończonych
Świat komputerów to świat obiektów skończonych!
Czy ograniczając się do świata struktur skończonych zmieniają się
prawa logiki?
TAK!
Zbiór tautologii dla światów skończonych jest szerszy od takiego
zbioru dla świata wszystkich struktur!
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Logika struktur skończonych
Na przykład zdanie
Jeśli < jest porządkiem liniowym, to jest porządkiem dyskretnym.
jest tautologią w logice struktur skończonych, a nie jest tautologią
w logice wszystkich struktur.
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
logika struktur skończonych
Twierdzenie (Trachtenbrota (1950))
Nie istnieje rekurencyjna aksjomatyka dla zbioru tautologii struktur
skończonych.
Wniosek
Zbiór tautologii struktur skończonych nie jest rekurencyjnie
przeliczalny.
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Teoria i jej własności
Teoria to zbiór zdań (zamknięty na konsekwencje lub nie).
Definicja
Mówimy, że teoria T jest zupełna jeśli jest niesprzeczna oraz dla
dowolnego zdania ϕ języka tej teorii T ` ϕ lub T ` ¬ϕ.
Np. Th(A) = {ϕ; A |= ϕ} – teoria ustalonej struktury jest teorią
zupełną.
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Teoria i jej własności
Definicja
Mówimy, że teoria T jest rozstrzygalna jeśli istnieje algorytm, który
dla każdego zdania ϕ języka tej teorii daje w skończonym czasie
odpowiedź na pytanie „czy T ` ϕ?”.
Czyli teoria T jest rozstrzygalna jeśli zbiór jej twierdzeń jest
zbiorem rekurencyjnym.
Definicja
Mówimy, że teoria jest aksjomatyzowalna jeśli istnieje jej
rekurencyjna aksjomatyzacja.
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Teoria i jej własności
Wniosek
Jeśli teoria jest aksjomatyzowalna, to zbiór jej twierdzeń jest
rekurencyjnie przeliczalny.
Twierdzenie
Każda teoria aksjomatyzowalna i zupełna jest rozstrzygalna
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Arytmetyki
I. Podejście semantyczne – teorie struktur
Arytmetyka Presburgera, czyli arytmetyka dodawania –
Th((N, +)).
Arytmetyka Skolema, czyli arytmetyka mnożenia – Th((N, ·)).
Pełna arytmetyka – Th((N, +, ·)).
II. Podejście syntaktyczne – teorie wyznaczone przez zbiór
aksjomatów
Arytmetyka Peano – AP
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Własności arytmetyk
Twierdzenie
Arytmetyki Presburgera i Skolema są rozstrzygalne
Twierdzenie (Gödel)
Zarówno AP jak też każde rekurencyjne rozszerzenie AP nie jest
teorią zupełną.
Wniosek
Pełna arytmetyka nie jest rozstrzygalna.
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Arytmetyka w komputerze
Komputer
ma tylko skończoną pamięć
w swoim działaniu użyje tylko skończenie wiele obiektów
może korzystać tylko ze skończonego zbioru liczb
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Arytmetyka w komputerze
Komputer
ma tylko skończoną pamięć
w swoim działaniu użyje tylko skończenie wiele obiektów
może korzystać tylko ze skończonego zbioru liczb
Wykonując operacje arytmetyczne na dużych liczbach komputer
może
nie wyznaczyć wyniku
wskazać jako wynik najwiekszą osiągalną dla tego komputera
liczbę
podać wynik modulo ta największa liczba
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
sl-struktury
Niech A będzie strukturą, której uniwersum stanowią liczby
naturalne, tj.
A = (N, R1 , . . . , Rs , f1 , . . . , ft , a1 , . . . , ar ),
gdzie
R1 , . . . , Rs są relacjami na N,
f1 , . . . , ft są operacjami na N,
a1 , . . . , ar ∈ N.
Będziemy rozpatrywać skończone odcinki początkowe tej struktury.
Rodzinę tak powstałych struktur {An }n∈N oznaczać będziemy
przez FM(A).
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
sl-struktury
Dla n ∈ N, przez An oznaczamy strukturę
An = ({0, . . . , n}, R1n , . . . , Rsn , f1n , . . . , ftn , a1n , . . . , arn , n),
gdzie
Rin jest obcięciem Ri do zbioru {0, . . . , n},
fi n jest zdefiniowane następująco
(
n
fi (b1 , . . . , bni ) =
fi (b1 , . . . , bni ) if f (b1 , . . . , bni ) ¬ n
n
if f (b1 , . . . , bni ) > n
oraz ain = ai o ile ai ¬ n, a w przeciwnym razie ain = n.
Uwaga: sygnatura struktur An jest rozszerzeniem sygnatury
struktury A o jedną stałą!
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
sl-teorie
Definicja (M. Mostowski)
Mówimy, że ϕ jest spełnione przez b1 , . . . , bp we wszystkich
odpowiednio dużych strukturach rodziny FM(A), co oznaczamy
przez FM(A) |= ϕ[b1 , . . . , bp ], jeśli istnieje k ∈ N takie, że dla
wszystkich n ­ k An |= ϕ[b1 , . . . , bp ].
Przez sl(A) oznaczamy zbiór zdań prawdziwych we wszystkich
odpowiednio dużych strukturach rodziny FM(A):
sl(A) = {ϕ : ∃k∀n ­ k An |= ϕ}.
Podobnie
sl− (A) = {ϕ ∈ Lσ(A) : ∃k∀n ­ k An |= ϕ}.
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
sl-teorie
Stwierdzenie
Dla każdej struktury A takiej, że |A| = N mamy
każdy model dla sl(A) jest nieskończony,
sl(A) jest domknięty na logiczne wynikanie,
sl(A) jest niesprzeczny
zdanie ϕ jest niesprzeczne z sl(A) wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ
jest zdaniem prawdziwym w nieskończenie wielu strukturach z
rodziny FM(A).
sl(A) nie jest skończenie aksjomatyzowalny
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Przykłady
1
Niech A będzie strukturą sygnatury pustej.
Wtedy sl− (A) = Th(A).
2
Niech A = (N, ¬).
Wtedy sl(A) = Th((ω + ω ∗ , ¬, m)), gdzie m jest ostatnim
elementem w porządku ¬.
Ale sl− (A) 6= Th(A), bo A |= ∀x∃y (x < y ) zaś
∀x∃y (x < y ) 6∈ sl− (A)
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Przykłady
1
Niech A = (N, S), gdzie S jest funkcją następnika.
Wtedy sl(A) = Th((ω + ω ∗ , S ∗ , m)), gdzie m jest ostatnim
elementem zaś S ∗ (x) = y zachodzi jeśli y jest bezpośrednim
następnikiem x lub x = y = m.
Tutaj też sl− (A) 6= Th(A), bo A |= ∀x(S(x) 6= x) zaś
S(m) = m ∈ sl(A).
2
Let A = (N, +).
Wtedy sl((N, +)) nie jest teorią zupełną.
Niech ϕ będzie zdaniem:
∃x(x + x 6= MAX ∧ x + x + 1 = MAX).
Wtedy ϕ 6∈ sl(A) i ¬ϕ 6∈ sl(A).
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Teoria struktury a jej sl-teoria
Kwantyfikatory ograniczone: ∃x<t , ∀x<t .
∆0 –formuły, to formuły w których kazde wystąpienie
kwantyfikatora jest ograniczone.
Σ1 –zdania to zdania postaci ∃x1 . . . ∃xn ϕ, gdzie ϕ jest ∆0 –formułą.
Σ2 –zdania to zdania postaci ∃x1 . . . ∃xn ∀y1 . . . ∀ym ϕ, gdzie ϕ jest
∆0 –formułą.
Stwierdzenie
a) Jeśli A |= ϕ oraz ϕ jest Σ1 –zdaniem, to ϕ ∈ sl(A).
b) Jeśli A |= ϕ oraz ϕ jest Σ2 –zdaniem sygnatury relacyjnej, to
ϕ ∈ sl(A).
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Rozstrzygalność sl-teorii
Twierdzenie
Jeśli Th((A, <)) jest rozstrzygalna, to teoria sl(FM(A)) też jest
rozstrzygalna.
Uwaga: wystarczy nawet założenie o rozstrzygalności teorii
ThΣ2 ((A, <)).
Wniosek
sl((N, +)), czyli sl-teoria arytmetyki Presburgera, jest
rozstrzygalna.
Istnieje też ścisły związek między modelami dla arytmetyki
Presburgera a modelami dla sl((N, +)).
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Rozstrzygalność sl-teorii
Twierdzenia występującego na poprzednim slajdzie nie można
zastosować do arytmetyki Skolema, bo Th((N, ×, <) nie jest
rozstrzygalna!
Wynika to z tego, że dodawanie daje się zdefiniować przy pomocy
mnożenia i porządku. Oznacza to, że w teorii Th((N, ×, <)
definiuje się pełna arytmetyka.
Czy sl-teoria arytmetyki Skolema jest rozstrzygalna?
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Nierozstrzygalność sl-teorii pełnej arytmetyki
Twierdzenie (M.Mostowski)
sl((N, +, ×)) jest nierozstrzygalna.
Wniosek (T.Lee)
sl((N, |, ¬)), sl((N, ⊥, ¬)) są nierozstrzygalne.
Zatem mamy tutaj analogiczne wyniki do tych w przypadku
klasycznych arytmetyk.
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Nierozstrzygalność sl-teorii arytmetyki Skolema
Twierdzenie (K.Zdanowski, ja)
sl((N, ×)) jest nierozstrzygalna.
Idea dowodu
Rozpatrzmy następującą formułę:
ϕ< (x, y ) := ∃z(zx 6= MAX ∧ zy = MAX).
Lemat
Niech A = (N, ×) oraz a, b ∈ N będą takie, że a2 , b 2 < n.
To An |= ϕ< [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy a < b.
Zatem formuła ϕ< definiuje porządek w An na odcinku
√
początkowym długości n.
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Nierozstrzygalność sl-teorii arytmetyki Skolema
Przechodząc do sl-spełniania możemy zatem wypowiedzieć
następujący
Fakt
Dla dowolnych a, b ∈ N mamy:
a < b wtedy i tylko wtedy, gdy FM(A) |= ϕ< [a, b].
W konsekwencji możemy udowodnić
Lemat
Dla dowolnej formuły ϕ(x1 , . . . , xk ) w języku pełnej arytmetyki
istnieje formuła ψ(x1 , . . . , xk ) w języku arytmetyki Skolema taka,
że dla dowolnych a1 , . . . , ak ∈ N,
FM(B) |= ϕ[a1 , . . . , ak ] wt. i t. wt. gdy FM(A) |= ψ[a1 , . . . , ak ].
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Nierozstrzygalność sl-teorii słabszych arytmetyk
Twierdzenie (M.Mostowski, A.Wasilewska)
sl((N, |)) jest nierozstrzygalna
Twierdzenie (M.Mostowski, K.Zdanowski)
sl((N, ⊥)) jest nierozstrzygalna
Zatem mamy tutaj przeciwne wyniki do tych w przypadku
klasycznych arytmetyk.
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną
Wprowadzenie
Zbiory rekurencyjne
logika struktur skończonych
Teoria i jej własności
Arytmetyki klasyczne
Arytmetyka skończona
Konkluzja
Teorie skończonych arytmetyk są generalnie rzecz
biorąc bardziej skomplikowane od teorii arytmetyk
nieskończonych.
Michał Krynicki
Z badań nad arytmetyką skończoną