Zad. 1 a) Podać współrzędne czasoprzestrzenne zdarzeń: A

Zad. 1
a) Podać współrzędne czasoprzestrzenne zdarzeń:
A. wyruszenie ciała 1, B. wyruszenie ciała 2, C. spotkanie obu ciał
oraz czasy trwania ruchu i drogi przebyte przez ciała oba względem układu odniesienia poruszającego się
z prędkością u, jeżeli sytuacja na rysunku jest podana w „nieruchomym” układzie odniesienia.
* - oznacza miejsce spotkania.
Uwaga! Środek układu nieruchomego znajduje się tuż przy punkcie startu pierwszej kuli. W chwili
początkowej środki obu układów pokrywają się.
I)
II)
l
t1=0 v1
v1
v2
*
*
t1=0
t2=0
t2=1s v2
v1=0.5c
u=0.6c
III)
v2=0.3c
l=10 sek. św.=10 s·c
v1=0.5c
IV)
l
t1=0 v1
v2=0.8c
l
v1
v2
t1=0
t2=0
*
t2=0 v2
v1=0.4c
u=12/13 c
v2=0.6c
l=10 sek. św.=10 s·c
u=0.8c
*
v1=0.8c
u=12/15 c
v2=0.4c
l=12 sek. św.=12 s·c
b) Obliczyć prędkości obu ciał w układzie poruszającym się z prędkością u, dzieląc odpowiednie drogi
przez czasy ruchu. Porównać z prędkościami obliczonymi ze wzoru na transformację prędkości.
c) Pokazać, że zdarzenia A i B w przypadkach I) i IV) nie są równoczesne w układzie poruszającym
się. Które zdarzenie jest wcześniejsze i o ile?
d) Porównać czasy ruchu ciała 1 i ciała 2 w przypadkach I) i IV) w obu układach odniesienia.
Dlaczego względem poruszającego się układu czas ruchu ciała 1 nie jest równy czasowi ruchu ciała 2?
e) Obliczyć kwadrat interwału czasoprzestrzennego między zdarzeniami A i B w przypadkach I) i IV)
w układzie stojącym i poruszającym się. Jakiego jest on rodzaju?
f) Obliczyć kwadrat interwału czasoprzestrzennego między zdarzeniami A i C oraz B i C w układzie
stojącym i poruszającym się. Pokazać, że jest on w każdym przypadku typu czasowego. Wskazać układ
odniesienia, w którym oba zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu.
Odp. do I):
a) A: t’=0, x’=0, B: t’=–7.5 s, x’=12.5 sc, C: t’=10.9375 s, x’=–1.5625 sc,
∆t1’=10.9375 s, ∆x1’=1.5625 sc, ∆t2’=18.4375 s, ∆x2’=14.0625 sc
b) v1’=–0.1429c, v2’=–0.7627c, prędkości te należy obliczyć dwoma sposobami, zaproponowanymi wyżej
c) w „poruszającym się” układzie odniesienia zdarzenie B jest wcześniejsze od A o ∆t’=7.5 s
d) w układzie „nieruchomym” ∆t1 =12.5 s,
∆t2 =12.5 s
w układzie „ruchomym”
∆t1’=10.9375 s, ∆t2’=18.4375 s
Chociaż w „poruszającym się” układzie odniesienia oba ciała spotkały się w jednym czasie t’=10.9375s,
to ciało B wyruszyło wcześniej.
e) s2AB = –100 (sc)2, interwał przestrzenny
f) s2AC = 117.1875 (sc)2, s2BC = 142.1875 (sc)2, interwał czasowy. Zdarzenia A i C zachodzą w tym
samym miejscu (czyli xA’=xC’) w układzie odniesienia związanym z ciałem 1, czyli poruszającym się z
prędkością u1= 0.5 c. Zdarzenia B i C zachodzą w tym samym miejscu (czyli xB’=xC’) w układzie
odniesienia związanym z ciałem 2, czyli poruszającym się z prędkością u2= –0.3 c.
Odp. do IV):
a) A: t’=0, x’=0, B: t’=-16 s, x’=20 sc, C: t’=18 s, x’=0 sc,
∆t1’=18 s, ∆x1’=0 sc, ∆t2’=34 s, ∆x2’=-20 sc
b) v1’=0 c, v2’=–0.5882 c, prędkości te należy obliczyć dwoma sposobami, zaproponowanymi wyżej
c) w „poruszającym się” układzie odniesienia zdarzenie B jest wcześniejsze od A o ∆t’=16 s
d) w układzie „nieruchomym” ∆t1 =30 s,
∆t2 =30 s
∆t1’=18 s, ∆t2’=34 s
w układzie „ruchomym”
Chociaż w „poruszającym się” układzie odniesienia oba ciała spotkały się w jednym czasie t’=18 s, to
ciało B wyruszyło wcześniej niż ciało A.
e) s2AB = –144 (sc)2, interwał przestrzenny
f) s2AC = 304 (sc)2, s2BC = 756 (sc)2, interwał czasowy. Zdarzenia A i C zachodzą w tym samym miejscu
(czyli xA’=xC’) w układzie odniesienia związanym z ciałem 1, czyli poruszającym się z prędk. u1= 0.8 c.
Zdarzenia B i C zachodzą w tym samym miejscu (czyli xB’=xC’) w układzie odniesienia związanym z
ciałem 2, czyli poruszającym się z prędkością u2= 0.4 c.
verte
Zad. 2a. „Wagon” porusza się z prędkością 4/5 c, a
jednocześnie wyruszające kule - z prędkościami 3/5 c i 2/5 c
względem „wagonu”.
Obliczyć, względem nieruchomego układu odniesienia, odstęp
1
3/5 c
czasu pomiędzy dwoma zdarzeniami z1 i z2 polegającymi na
uderzeniu obu kul w przeciwległe ściany.
z2
Uwaga! Środek układu ruchomego znajduje się tuż przy punkcie
2l
startu drugiej kuli. W chwili początkowej środki obu układów
pokrywały się.
Odp: (x’z1= l , t’z1= 5 l/c , x’z2= -2l , t’z2= 5 l/c ), tz1= 29/3 l/c , tz2= 17/3 l/c , ∆t= 4 l/c
Zad. 2b. „Wagon” porusza się z prędkością 0.8c, a obie kule z
prędkościami 0.6c względem „wagonu”.
Obliczyć, względem nieruchomego układu odniesienia, odstęp
czasu pomiędzy dwoma zdarzeniami polegającymi na uderzeniu
obu kul w przeciwległe ściany.
Uwaga! Środek układu ruchomego znajduje się tuż przy punkcie z2
startu obu kul. W chwili początkowej środki obu układów
pokrywały się .
4/5 c
z1
2
2/5 c
l
0.8c
2
1
0.6c
z1
0.6c
2l
l
Odp: (x’z1= 2l , t’z1= 10/3 l/c , x’z2= -l , t’z2= 5/3 l/c ), tz1= 74/9 l/c , tz2= 13/9 l/c , ∆t= 61/9 l/c
Zad. 2c. „Wagon” porusza się z prędkością 3/5 c, a
jednocześnie wyruszające kule - z prędkościami 2/5 c i 1/5 c
3/5 c
względem „wagonu”.
Obliczyć, względem nieruchomego układu odniesienia, odstęp
2/5 c
1
czasu pomiędzy dwoma zdarzeniami z1 i z2 polegającymi na
z2
uderzeniu obu kul w przeciwległe ściany.
1/5 c
Uwaga! Środek układu ruchomego znajduje się tuż przy lewej
l
l
ścianie. W chwili początkowej środki obu układów pokrywały
się .
Odp: (x’z1= 3l , t’z1= 5 l/c , x’z2= 0 , t’z2= 10 l/c ), tz1= 17/2 l/c , tz2= 25/2 l/c , ∆t= 4 l/c
Zad. 2d. „Wagon” porusza się z prędkością 4/5 c, a
jednocześnie wyruszające kule - z prędkościami 1/5 c i 3/5 c
względem „wagonu”.
Obliczyć, względem nieruchomego układu odniesienia, odstęp
czasu pomiędzy dwoma zdarzeniami z1 i z2 polegającymi na
uderzeniu obu kul w przeciwległe ściany.
z2
Uwaga! Środek układu ruchomego znajduje się w odległości l
l
od lewej ściany. W chwili początkowej środki obu układów
pokrywały się.
Odp: (x’z1= 2l , t’z1= 5 l/c , x’z2= -l , t’z2= 5 l/c ), tz1= 11 l/c , tz2= 7 l/c , ∆t= 4 l/c
z1
2
l
4/5 c
1
l
Zad. 2e. „Wagon” porusza się z prędkością 3/5 c, a
jednocześnie wyruszające kule - z prędkościami 1/5 c i 2/5 c
3/5 c
względem „wagonu”.
1
Obliczyć, względem nieruchomego układu odniesienia, odstęp
czasu pomiędzy dwoma zdarzeniami z1 i z2 polegającymi na
uderzeniu obu kul w przeciwległe ściany.
z2
2/5 c 2
Uwaga! Środek układu ruchomego znajduje się w odległości l
l
l
od lewej ściany. W chwili początkowej środki obu układów
pokrywały się.
Odp: (x’z1= 2l , t’z1= 5 l/c , x’z2= -l , t’z2= 5 l/c ), tz1= 31/4 l/c , tz2= 22/4 l/c , ∆t= 9/4 l/c
1/5 c
3/5 c
l
1/5 c
l
z1
2
z1
Zad. 3a. Obliczyć współrzędne czasoprzestrzenne, względem
ruchomego układu odniesienia związanego z cząstką 1, dla
dwóch zdarzeń:
z2
z1: wyruszenie cząstki 2,
z2: uderzenie cząstki 2 w ścianę.
Na podstawie obliczonych współrzędnych czasoprzestrzennych
wyznaczyć prędkość u2,1 cząstki 2 względem cząstki 1.
10
8
l
25
29
l
1
u1= 4/5 c
z1
2
u2= 3/5 c
2l
l
35
Odp: x’z1= /3 l , t’z1= - /3 /c , x’z2= - /3 l , t’z2= /3 /c ; u2,1= - /37 c = -0.946 c
Zad. 3b. Obliczyć współrzędne czasoprzestrzenne, względem
z2
ruchomego układu odniesienia związanego z cząstką 1, dla
dwóch zdarzeń:
zdarzenie 1: wyruszenie cząstki 2,
zdarzenie 2: uderzenie cząstki 2 w ścianę.
Na podstawie obliczonych współrzędnych czasoprzestrzennych
wyznaczyć prędkość cząstki 2 względem cząstki 1.
2l
Odp: x’z1= 5/4 l , t’z1= - 3/4 l/c , x’z2= - 65/8 l , t’z2= 87/8 l/c ; u2,1= - 75/93 c = -0.806 c
u2= 2/5 c
u1= 3/5 c
l
Zad. 3c. Obliczyć współrzędne czasoprzestrzenne, względem
ruchomego układu odniesienia związanego z cząstką 1, dla
dwóch zdarzeń:
z2
z1: wyruszenie cząstki 2,
z2: uderzenie cząstki 2 w ścianę.
Na podstawie obliczonych współrzędnych czasoprzestrzennych
2l
wyznaczyć prędkość u2,1 cząstki 2 względem cząstki 1.
Odp: x’z1= 5/4 l , t’z1= - 3/4 l/c , x’z2= - 55/4 l , t’z2= 81/4 l/c ; u2,1= - 5/7 c = -0.714 c
Zad. 3d. Obliczyć współrzędne czasoprzestrzenne, względem
ruchomego układu odniesienia związanego z cząstką 1, dla
dwóch zdarzeń:
z2
z1
z1: wyruszenie cząstki 2,
2
z2: uderzenie cząstki 2 w ścianę.
u2= 1/5 c
Na podstawie obliczonych współrzędnych czasoprzestrzennych
l
wyznaczyć prędkość u2,1 cząstki 2 względem cząstki 1.
5
4 l
l
25
Odp: x’z1=- /3 l , t’z1= /3 /c , x’z2= - 10 l , t’z2= 11 /c ; u2,1= - /29 c = -0.862 c
1
u1= 3/5 c
z1
2
u2= 1/5 c
l
1
u1= 4/5 c
l
Zad. 3e. Obliczyć współrzędne czasoprzestrzenne, względem
u1= 3/5 c
1
ruchomego układu odniesienia związanego z cząstką 1, dla
dwóch zdarzeń:
z2
z1
z1: wyruszenie cząstki 2,
2
z2: uderzenie cząstki 2 w ścianę.
u2= 1/5 c
Na podstawie obliczonych współrzędnych czasoprzestrzennych
l
l
wyznaczyć prędkość u2,1 cząstki 2 względem cząstki 1.
5
3 l
35
53 l
5
Odp: x’z1= /4 l , t’z1= - /4 /c , x’z2= - /4 l , t’z2= /4 /c ; u2,1= - /7 c = -0.714 c
verte
l
Zad. 4
Ze środka luku bagażowego rakiety, poruszającej się z prędkością u=0.6c względem „nieruchomego”
obserwatora, w czasie t’=0 zostają wystrzelone w kierunku ruchu rakiety dwa ciała (zdarzenie A) tak, że
według obserwatora znajdującego się w rakiecie docierają w jednakowych chwilach t’=To do
przeciwległych końców luku (tylnego i przedniego, zdarzenia B i C). Obserwator znajdujący się w środku
luku, znając prędkości obu ciał i rozmiary luku, przewiduje czas dotarcia ciał do końców i w tym samym
czasie t’=T zapala w środku luku światełko (zdarzenie D). Długość luku jest równa l.
a) Podać współrzędne czasoprzestrzenne wszystkich zdarzeń w układzie O’ związanym z rakietą i w
„nieruchomym” układzie O.
b) Ile czasu upłynęło między zdarzeniami A i B, A i C, A i D w układzie O’, a ile w układzie O?
Które z tych przedziałów czasów obaj obserwatorzy mogą porównać jako miarę różnego upływu czasu w
obu układach.
c) Dzięki znajomości współrzędnych czasoprzestrzennych tych zdarzeń obliczyć prędkość obu ciał i
rakiety w układzie O’ i O.
d) Czy zdarzenia B i C, jednoczesne w układzie O’, są jednoczesne w układzie O?
Czy obserwator „nieruchomy” może zatem długość luku bagażowego rakiety obliczyć (mierzyć) jako
różnicę współrzędnych zdarzeń B i C?
e) W układzie O znaleźć współrzędne czasoprzestrzenne zdarzenia E mającego miejsce na tyle luku i
równoczesnego ( w układzie O) ze zdarzeniem C. Korzystając z tych współrzędnych obliczyć długość
wagonu.
f) W układzie O znaleźć współrzędne czasoprzestrzenne zdarzenia F mającego miejsce na przedzie
luku i równoczesnego ( w układzie O) ze zdarzeniem B. Korzystając z tych współrzędnych obliczyć
długość wagonu.
Zad. 5*
Z punktu x=x’=0, w czasie t=0, z prędkością v1=0.8c wyrusza rakieta (zdarzenie A). Obserwatorzy obsługa kosmodromu związana z układem odniesienia O i astronauta związany z układem O’ rakiety - w
momencie startu zsynchronizowali swoje zegary. Rakieta dociera do punktu końcowego (święto w
rakiecie - zdarzenie B) przebywszy drogę (w układzie O) s=60 l.ś. (lat świetlnych). Obsługa
kosmodromu, znając drogę i prędkość rakiety, przewiduje czas dotarcia przez nią do celu i urządza wtedy
u siebie przyjęcie (zdarzenie C). Astronauta, nie zabawiwszy długo, przesiada się na rakietę lecącą z
powrotem z prędkością v2=-0.8c i stanowiącą układ odniesienia O”’. Tuż po przejściu na rakietę O”’
ustawia jej zegar tak, żeby wskazywał ujemny czas, równy co do wartości bezwzględnej czasowi,
pokazywanemu przez zegar rakiety O’ na końcu poprzedniej podróży. Spodziewa się, że lecąc z
powrotem z tą samą prędkością, na końcu tej podróży tak ustawiony zegar będzie wskazywał czas zero
(wielkie święto). Również obsługa ziemskiego kosmodromu, podczas przyjęcia cofa swój zegar na
ujemny czas, równy co do wartości bezwzględnej czasowi pokazywanemu przed chwilą, podobnie
spodziewając się, że powitają astronautę (wielkie przyjęcie - zdarzenie D) w czasie zero na tak
przestawionym zegarze. Cofnięcie zegara przez obsługę jest równoznaczne z utworzeniem nowego
układu odniesienia O”.
a) Wyznaczyć współrzędne czasoprzestrzenne zdarzeń A, B i C w układach O i O’ (tA , xA , tB , xB ,
tC , xC , t’A , x’A , t’B , x’B , t’C , x’C ).
Dla uproszczenia przyjąć, że czasy przyśpieszania i hamowania rakiety oraz czas postoju astronauty u
celu są zaniedbywalne w porównaniu z czasem lotu.
b) Ile czasu upłynęło między zdarzeniami A i B (które zachodzą w jednym miejscu w układzie O’) dla
astronauty (w układzie O’), a ile dla obsługi kosmodromu (w układzie O)? Ile razy te przedziały czasu się
różnią? Biorąc to pod uwagę, jakiej odpowiedzi można udzielić na pytanie, w którym układzie upłynęło
mniej czasu?
Ile czasu upłynęło między zdarzeniami A i C (które zachodzą w jednym miejscu w układzie O) dla
obsługi kosmodromu (w układzie O), a ile dla astronauty (w układzie O’)? Ile razy te przedziały czasu się
różnią? Biorąc to pod uwagę, jakiej odpowiedzi można udzielić na pytanie, w którym układzie upłynęło
mniej czasu?
Czy zatem postawione w sposób bezwzględny pytanie „W którym inercjalnym układzie odniesienia
czas biegnie wolniej?” ma sens?
c) Wyznaczyć współrzędne czasoprzestrzenne zdarzeń B, C i D w układach O” i O”’ (t”B , x”B , t”C ,
x”C , t”D , x”D , t’”B , x’”B , t’”C , x’”C , t’”D , x’”D ).
d) Obliczyć, ile łącznie upłynęło czasu pomiędzy zdarzeniami A i D dla obsługi kosmodromu
znajdującej się wciąż w inercjalnym układzie odniesienia, a ile dla astronauty związanego raz z jednym, a
raz z drugim inercjalnym układem (czyli związanym z nieinercjalnym układem). W którym układzie
(inercjalnym lub nieinercjalnym) upłynęło mniej czasu i ile razy?
e) Porównując współrzędne czasoprzestrzenne zdarzeń B i C w układach O i O”, sprawdzić, czy
przesunięcie zegara przez obsługę kosmodromu w trakcie zdarzenia C skutkuje takim samym
przesunięciem czasu odległego zdarzenia B.
Porównując współrzędne czasoprzestrzenne zdarzeń B i C w układach O’ i O”’, sprawdzić, czy
przesunięcie zegara przez astronautę w trakcie zdarzenia B wraz ze zmianą inercjalnego układu
odniesienia skutkuje takim samym przesunięciem czasu odległego zdarzenia C.