Matematyka ekonomiczna

Matematyka ekonomiczna
Lista 5
Zad. 1. Zakładając, że jest spełniona HJP (hipoteza jednorodnej populacji) pokazać, że:
• t p0 = s(t)
• t px =
s(x+t)
s(x)
• µt = µ ⇒ qx = 1 − exp(−µ)
Zad. 2. Obliczyć prawdopodobieństwo zgonu w ciągu roku osoby 30 letniej, jeśli funkcja trwania życia dana
jest wzorem i spełniona jest HJP:
s(x) = 1 −
x
,
c
0 ¬ x ¬ c.
O ile razy wzrośnie prawdopodobieństwo zgonu tej osoby w ciągu t lat?
Zad. 3. Pokazać, że gęstość zmiennej losowej Tx można wyrazić jako iloczyn funkcji przeżycia t px i natężenia
zgonów µx+t – czyli fx (t) = t px µx+t .
Zad. 4. Mając daną funkcję natężenia zgonów:
µx =
1
,
100 − x
x < 100
obliczyć prawdopodobieństwo, że 40 latek przeżyje więcej niż 10 lat.
Zad. 5. Wykorzystując tablice trwania życia, obliczyć następujące prawdopodobieństwa:
• przeżycia kolejnego roku przez kobietę 30 i 70 letnią,
• przeżycia mężczyzny w wieku 40 lat dalszych 40 lat,
• że kobieta w wieku 20 lat umrze przed osiągnięciem 75 lat,
• że mężczyzna 20 letni umrze miedzy 50 a 60 rokiem życia.
1