Algebra liniowa - Ćwiczenia Arkusz 4

Wydział Zarządzania - Algebra liniowa - Ćwiczenia
Arkusz 4 - KONGRUENCJE
Zadanie 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznacz wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.
Zadanie 2. Stosując algorytm Euklidesa znajdź NWD oraz NWW liczb n i m
a) n = 21, m = 55
d) n = 77, m = 371
g) n = 688, m = 64
b) n = 15, m = 303
e) n = 1029, m = 37
h) n = 301, m = 21
c) n = 303, m = 159
f) n = 727, m = 19
i) n = 1001, m = 39
Zadanie 3. Które z poniższych kongruencji są prawdziwe?
a) 10 ≡ 1(mod 9)
c) −1 ≡ 113 (mod 6)
e) −12 ≡ 13 (mod 5)
b) −5 ≡ 31 (mod 7)
d) −26 ≡ 44 (mod 10)
f) 23 ≡ 71 (mod 11)
Zadanie 4. Znajdź resztę z dzielenia
a) 39100 przez 38
c) 3 · 1818 − 500 · 5120 przez 8
b) 16231 + 550 przez 17
d) 423200 · 562100 przez 7
Zadanie 5. Pokaż, że
a) 13|106 − 1
c) 19|109 + 1
e) 13|222333 + 333222
b) 17|108 + 1
d) 10|5353 − 3333
f) 7|22225555 + 55552222
Zadanie 7. Znajdź ostatnią cyfrę następujących liczb
a) 7100
c) 191234
e) 7 · 312553 − 6543
b) 21000
d) 23212 + 41256
f) 314404
Zadanie 8. Znajdź dwie ostatnie cyfry następujących liczb:
a) 21000
c) 7204
b) 31000
d) 314404
Zadanie 9. Rozwiąż następujące kongruencje
e) 203288 − 1234
a) 3x + 2 ≡ 1(mod 5)
d) 12x ≡ 6 (mod 7)
b) 25x ≡ 12 (mod 7)
e) 24x ≡ 11 (mod 17)
c) 3x ≡ 1 (mod 6)
f) 4x ≡ 3 (mod 7)
g) 3x ≡ 4 (mod 8)
h) 3x ≡ 10 (mod 12)
Zadanie 10. Rozwiąż kongruencje
a) 3x10 − 12x + 1 ≡ 0(mod 5)
d) x5 − 3x2 + 2 ≡ 0(mod 7)
b) x5 − 2x3 + x2 − 2 ≡ 0(mod 3)
c) x7 − 6 ≡ 0(mod 5)
e) 3x3 + 4x2 − 7x − 6 ≡ 0(mod 15)