Pytania na egzamin dyplomowy

Pytania na egzamin dyplomowy
na kierunek Matematyka
od roku 2011
I. Analiza matematyczna
1. Zbieżność ciągów liczbowych, podstawowe własności ciągów zbieżnych.
2. Zbieżność szeregów liczbowych, definicja i kryteria zbieżności.
3. Szereg geometryczny, zbieżność i suma szeregu geometrycznego.
4. Metryka, kula i zbiory otwarte, domknięte w przestrzeniach metrycznych.
5. Własności rodziny zbiorów otwartych i rodziny zbiorów domkniętych.
6. Podstawowe własności przestrzeni metrycznej zupełnej, twierdzenie Banacha o punkcie
stałym, podzbiory zupełne przestrzeni Rn.
7. Podstawowe własności przestrzeni metrycznej zwartej, podzbiory zwarte przestrzeni Rn.
8. Granica w sensie Heinego i Cauchy’ego. Własności rachunkowe granic.
9. Ciągłość funkcji w punkcie i zbiorze.
10. Własności funkcji ciągłych w zbiorze zwartym.
11. Własność Darboux.
12. Asymptoty wykresu funkcji.
13. Definicja pochodnej i interpretacja geometryczna i fizyczna.
14. Prawa różniczkowania.
15. Twierdzenia o wartości średniej i ich konsekwencje.
16. Monotoniczność funkcji i kryteria monotoniczności.
17. Wypukłość funkcji i kryteria wypukłości.
18. Ekstrema funkcji i warunki istnienia.
19. Twierdzenia Taylora i Maclaurina i ich konsekwencje.
20. Zbieżność szeregów potęgowych, promień zbieżności i wzory rachunkowe.
21. Własności sumy szeregu potęgowego w kole zbieżności.
22. Podstawowe własności całki Riemanna, interpretacja geometryczna całki Riemanna.
23. Całka nieoznaczona i twierdzenie Newtona-Leibniza.
24. Związek całki Riemanna z polem figury.
25. Warunki całkowalności funkcji.
26. Całki niewłaściwe.
27. Zastosowania geometryczne i fizyczne całki Riemanna.
28. Pochodne cząstkowe.
29. Różniczka zupełna funkcji wielu zmiennych.
30. Ekstrema funkcji rzeczywistej wielu zmiennych i kryteria ich istnienia.
31. Podstawowe własności całki podwójnej.
32. Całki iterowane.
33. Pojęcie równania różniczkowego i jego rozwiązania.
34. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego.
35. Równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych.
36. Równanie różniczkowe liniowe I rzędu.
II. Algebra
1
1. Definicja i podstawowe własności grup.
2. Podgrupy, kryteria.
3. Homomorfizmy grup, struktura jądra homomorfizmu grup.
4. Definicja i podstawowe własności pierścieni.
5. Homomorfizmy, izomorfizmy pierścieni, ideały.
6. Pierścienie Zm i ciała Zp.
7. Przykłady ciał liczbowych.
8. Działania na macierzach i podstawowe własności działań.
9. Mnożenie macierzy, macierz odwrotna. Sposoby obliczania macierzy odwrotnej.
10. Definicja układu równań liniowych, rozwiązanie i struktura zbioru rozwiązań.
11. Metoda eliminacji Gaussa.
12. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
13. Twierdzenie Cramera.
14. Definicja przestrzeni liniowej i przykłady, podstawowe własności.
15. Liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej.
16. Definicja i podstawowe własności przekształcenia liniowego.
17. Jądro i obraz przekształcenia liniowego, ich struktura.
18. Macierz przekształcenia liniowego względem baz.
19. Wektory własne i wartości własne przekształcenia liniowego przestrzeni liniowej w
siebie.
20. Definicja i podstawowe własności formy kwadratowej.
21. Twierdzenie Lagrange’a o postaci kanonicznej.
22. Formy kwadratowe rzeczywiste; określoność formy.
23. Twierdzenie o bezwładności form kwadratowych.
24. Wielomiany o współczynnikach całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych.
25. Ciała algebraicznie domknięte, ciało liczb zespolonych.
III. Rachunek prawdopodobieństwa
1. Pojęcie przestrzeni probabilistycznej i definicja prawdopodobieństwa.
2. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
3. Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa.
4. Rozkład zmiennej losowej.
5. Dystrybuanta zmiennej losowej i jej podstawowe własności.
6. Wartość oczekiwana i jej własności.
7. Wariancja i jej własności.
IV. Geometria
1. Równoległość i prostopadłość wektorów.
2. Działania na wektorach, iloczyn skalarny i wektorowy.
3. Równania prostych na płaszczyźnie, równoległość i prostopadłość prostych na
płaszczyźnie.
4. Równania prostych i płaszczyzn w przestrzeni trójwymiarowej.
5. Równoległość i prostopadłość prostych i płaszczyzn w przestrzeni trójwymiarowej.
6. Stożkowe na płaszczyźnie, ich równania i własności.
2
7. Przekształcenia afoniczne.
8. Izomerie.
9. Symetria osiowa.
10. Symetria środkowa.
11. Translacja.
12. Obrót.
Pytania z dydaktyki matematyki na specjalność nauczycielską
1. Etapy rozwoju dzieci.
2. Poziomy rozumienia pojęć.
3. Cele nauczania matematyki.
4. Sposoby formułowania twierdzeń i prowadzenia dowodów.
5. Dedukcyjny charakter matematyki.
6. Metody rozwiązywania zadań tekstowych.
7. Definicje matematyczne, ich rodzaje i sposoby ich formułowania.
8. Sposoby wprowadzania pojęcia liczb naturalnych.
9. Sposoby wprowadzania pojęcia liczb całkowitych.
10. Sposoby wprowadzania pojęcia liczb wymiernych.
11. Sposoby wprowadzania pojęcia liczb rzeczywistych.
12. Metody aktywizujące stosowane na lekcjach matematyki.
13. Czynnościowe nauczanie matematyki.
14. Zasady nauczania matematyki.
15. Systemy kontroli wiedzy uczniów.
16. Typy i rodzaje lekcji.
17. Podstawa programowa nauczania matematyki.
18. Ostatnia reforma oświaty.
19. Zalety dobrze napisanego podręcznika i wady występujące w aktualnych podręcznikach.
20. Praca z uczniem trudnym.
Pytania z matematyki finansowej na specjalność
matematyka finansowa
1. Co to jest matematyka aktuarialna i kto to jest aktuariusz?
2. Na czym polega dywersyfikacja portfela ?
3. Omów podstawowe rodzaje wykresów w analizie technicznej.
4. Co to jest analiza wskaźnikowa i jakie grupy wskaźników możemy w niej wyróżnić?
5. Omów krótko I, II i III filar systemu emerytalnego.
6. Aktywa, pasywa, bilans.
7. Pojęcie konta, rodzaje konta.
8. Zasada podwójnego zapisu.
9. Model oprocentowania składanego przy kapitalizacji ciągłej.
10. Stopa efektywna i jej znaczenie w matematyce finansowej.
3
11. Podstawowe pojęcia związane z wyceną rent.
12. Zasady wystawiania dokumentów handlowych, magazynowych i finansowych w
programach komputerowych.
13. Formy księgowości i ich obsługa w programach komputerowych.
14. Formy zatrudnienia i rozliczania pracowników i ich obsługa w programach
komputerowych.
15. Charakterystyka gospodarki rynkowej. Działanie mechanizmu rynkowego.
16. Elementy systemu rachunków narodowych.
4