Analiza matematyczna 1 Lista 9 W poniższych zadaniach wystepuja

Analiza matematyczna 1
Lista 9
W poniższych zadaniach wystepuja całki Riemanna i całki oznaczone (symbole
je przedstawiające są niestety takie same). Pamiętajmy, że całka oznaczona funkcji
f od a do b jest to przyrost funkcji pierwotnej, czyli różnica F (b) − F (a), gdzie F
jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f i nie wymagamy, by funkcja f była ciągła.
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego głosi zaś, że jeśli f jest ciągła, to ma
funkcję pierwotną i całka Riemanna funkcji f jest całką oznaczoną z f .
(1) Udowodnić na podstawie definicji całki Riemanna, że
Rb
(a) a x dx = 21 (b2 − a2 ) (wskazówka: rozważyć sumy Riemanna dolną,
górną i środkową dla dowolnego podziału P przedziału [a, b]).
Rb
(b) a x2 dx = 13 (b3 − a3 ) (wskazówka: skorzystać z nierówności
x2i−1 <
1 2
(x + xi xi−1 + x2i−1 ) < x2i
3 i
dla xi−1 < xi .)
(2) Znajdź aproksymacje poniższych całek za pomocą podanych sum Riemanna
dla podziałów
odpowiednich przedziałów na n równych części:
Rπ
(a) 0 sin x dx; suma środkowa, n = 10;
R1√
(b) 0 1 + cos x dx; suma lewa, n = 20;
R1
2
(c) −1 ex dx; suma prawa, n = 20;
(3) Oblicz pochodne funkcji:
Z x2
Z 2
Z y2
1
1
dt
F
(x)
=
F (y) =
t
sin
t
dt,
G(y)
=
(1 + t2 ) 2 dt,
3
t
0
y
y
Z 2y
d
G(y) =
cos t dt
dy sin y
(4) Uzasadnij poniższe wzory dla całek oznaczonych:
Rb
Rc
Rb
(a) a f (x) dx = a f (x) dx + c f (x) dx
Rb
Rb
Rb
(b) a (f (x) ± g(x)) dx = a f (x) dx ± a g(x) dx
Rb
Rb
(c) a cf (x) dx = c a f (x) dx
Rb
Rb
(d) a f (x)g 0 (x) dx = f (x)g(x)|ba − a f 0 (x)g(x) dx
Rb
R f (b)
(e) a g(f (x))f 0 (x) dx = f (a) g(y) dy.
Rb
(f) a f (x) dx = f (c)(b − a) dla pewnego c pomiędzy a i b (twierdzenie o
wartości średniej dla całek oznaczonych)
Ra
(5) Pokaż, że jeśli f jest funkcją parzystą, to całka oznaczona −a f (x) dx =
Ra
2 0 f (x) dx. Ile wynosi ta całka, gdy f jest nieparzysta?
(6) Jeśli f i g sa funkcjami ciągłymi na przedziale [a, b] oraz f (x) ¬ g(x) dla
wszystkich x ∈ [a, b], to pole obszaru między wykresami f i g nad [a, b]
Rb
definiujemy jako całke a (g(x) − f (x)) dx. Oblicz pola
(a) koła o środku (0, 0) i promieniu r;
(b) elipsy o środku (0, 0) i półosiach a i b
(c) obszaru ograniczonego wykresami funkcji sin x i cos x dla x ∈ [ π4 , 5π
4 ].
1