σ σ σ σ - E-SGH

Rozkłady statystyk z próby
mgr D.Węziak 23.03.2007
Szukana
statystyka
Rozkład cechy
(rozkład X)
Znajomość
odchylenia
standardowego w
populacji (σ)
Wielkość
próby
x
r. normalny
X~N(m, σ)
Znane
Dowolna
x
r. normalny
X~N(m, σ)
Mała, czyli
n<30
x
r. normalny
X~N(m, σ)
Nieznane
(znamy tylko
odchylenie std.
z próby czyli
S(x))
Nieznane
(znamy tylko
odchylenie std.
z próby czyli
S(x))
Znane (czyli
znany D(x))
-
x
w
S2
w1 − w 2
x1 − x 2
r. dowolny
r. dwumianowy
r. normalny
X~N(m, σ)
znane
Rozkład szukanej statystyki
σ
x ~N(m,
)
n
x ~t - Studenta
Duża, czyli
n>30
x ~N(m,
Duża, czyli
n>100
x ~N(EX,
Duża,
n>120
w~N(p,
dowolna
S2~χ2
S ( x)
n
Uwagi
U
r. dokładny
t=
)
D( x )
n
Formuła standaryzacyjna
)
r. graniczny
U
To wynika z
tw. LindebergaLevy’ego;
r. graniczny
To wynika
pośrednio z tw.
Moivre’aLaplace’a);
r. graniczny
v=n-1;
r. dokładny
U
p (1 − p )
)
n
χ=
Próby duże
n1>120,
n2>120
X1~N(m1, σ1),
X2~N(m2, σ2)
n1, n2
dowolne
Znane σ1 oraz
znane σ2
w1 − w 2 ~N( p1 − p 2 , p1 (1 − p1 ) + p 2 (1 − p 2 ) )
n1
x1 − x 2 ~N(m1-m2,
σ 21
n1
+
v=n-1,
r. dokładny
U
2
Obie próby są z r. dwumianowego
x−m
⋅ n
S ( x)
S 2 ( x ) ⋅ ( n − 1)
σ2
U
r.graniczny
U
r. dokładny
n2
σ 22
n2
)
1
Rozkłady statystyk z próby
x1 − x 2
X1~N(m1, σ1),
X2~N(m2, σ2)
mgr D.Węziak 23.03.2007
nieznane σ1 oraz
nieznane σ2
ALE σ1=σ2
(znamy tylko
odchylenia std. z
obu prób czyli
S1(x) oraz S2(x))
n1, n2
dowolne
x1 − x 2 ~t-Studenta
1
1 
S p2  + 
 n1 n2 
S p2 =
x1 − x 2
X1~r. dowolny
X2~r. dowolny
Znane są: EX1,
EX2, DX1, DX2
Próby duże
n1>100,
n2>100
x1 − x 2 ~ N(EX1-EX2,
S 12 ( x )
S 22 ( x )
X1~N(m1, σ1),
X2~N(m2, σ2)
Znane w obu
próbach
n1, n2
dowolne
S 12 ( x )
~F-Snedecora
S 22 ( x )
•
( x1 − x2 ) − (m1 − m2 ) gdzie:
t=
wszystkie wzory podane są zakładając, że wariancja z próby liczona była wg wzoru: S 2 =
F=
∑ (x
(n1 − 1)s12 + (n 2 − 1)s 22
n1 + n 2 − 2
U
D2 (X1) D2 (X 2 )
)
+
n1
n2
i
− x)
n −1
v=n1+n2-2
r. dokładny
S 12 ( x ) / σ 12
S 22 ( x ) / σ 22
To wynika z
tw.
LindebergaLevy’ego;
r. graniczny
r. dokładny,
v1=n1-1
v2=n2-1
2
(wariancja nieobciążona)
2
Rozkłady statystyk z próby
mgr D.Węziak 23.03.2007
•
•
jeżeli wariancja liczona byłaby według formuły: Sˆ 2 =
1. przeliczenie S 2 na Ŝ 2 według formuły: S 2 =
∑ (x
i
− x)
n
2
(wariancja obciążona), to możliwe są dwie drogi postępowania:
n ˆ2
S ;
n −1
2. korzystanie z wzorów z powyższej tabeli w zmienionej postaci (podane zostaną tu tylko przypadki, w których wystąpiły różnice w stosunku do tych podanych powyżej):
x
r. normalny
X~N(m, σ)
S2
r. normalny
X~N(m, σ)
x1 − x 2
S 12 ( x )
S 22 ( x )
X1~N(m1,
σ1),
X2~N(m2, σ2)
X1~N(m1,
σ1),
X2~N(m2, σ2)
Nieznane
(znamy tylko odchylenie
std. z próby czyli S(x))
znane
Mała, czyli n<30
x ~t - Studenta
dowolna
S2~χ2
t=
2
χ=
nieznane σ1 oraz nieznane
σ2
ALE σ1=σ2
(znamy tylko odchylenia
std. z obu prób czyli S1(x)
oraz S2(x))
Znane w obu próbach
n1, n2 dowolne
n1, n2 dowolne
x1 − x 2 ~t-Studenta
S 12 ( x )
~F-Snedecora
S 22 ( x )
t=
x−m
⋅ n −1
S ( x)
v=n-1,
r. dokładny
S 2 ( x) ⋅ n
v=n-1;
r. dokładny
σ2
(x1 − x 2 ) − (m1 − m 2 )
F=
n1 S 12 ( x ) + n 2 S 22 ( x )
n1 n 2
(n1 + n 2 − 2 )
n1 + n 2
S 12 ( x ) ⋅ σ 22 ⋅ n1 ⋅ (n 2 − 1)
S 22 ( x ) ⋅ σ 12 ⋅ n 2 ⋅ (n1 − 1)
v=n1+n2-2
r. dokładny
r.
dokładny,
v1=n1-1
v2=n2-1
3