Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 6

Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 6
Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 6
C m c m - symbol grupy przestrzennej międzynarodowy (Hermann-Mauguin)
17
D2h
mmm
- symbol grupy przestrzennej ( Schoenfliesa), gdzie D2h to symbol grupy
punktowej złożonej z rodziny osi dwukrotnych , prostopadłych do siebie
w 3 kierunkach, oraz prostopadłych do tych osi płaszczyzn.
17 – siedemnasta grupa z 28 grup przestrzennych posiadających
punktową grupę D2h.
- międzynarodowy symbol grupy punktowej D2h,
Orthorombic - układ krystalograficzny rombowy
No.63
- numer grupy w Tablicach
C 2/m 2/c 21/m - pełny symbol grupy przestrzennej, o sieci centrowanej z
translacją centrującą (1/2,1/2,0) zawierającą płaszczyzny prostopadłe i osie
dwukrotne równoległe odpowiednio do
osi x ~2/m (zwykła płaszczyzna symetrii i zwykła oś)
osi y ~2/c ( poślizgowa płaszczyzna z wektorem niesieciowej
translacji wzdłuż [001] o wektor 1/2c0, gdzie c0 to jeden
z wektorów sieciowych i zwykła oś).
osi z ~21/m (zwykła płaszczyzna symetrii i oś śrubowa z wektorem
niesieciowej translacji wzdłuż [001} o wektor 1/2c0).
Patterson symmetry C mmm - symetria Pattersona bez niesieciowych translacji.
Asymmetric unit - najmniejszy możliwy obszar przestrzeni z którego można
odtworzyć całą przestrzeń przez zastosowanie wszystkich
operacji symetrii należących do grupy przestrzennej.
Elementy reprezentujące grupę - reprezentanci warstw w rozkładzie grupy
przestrzennej względem grupy translacji :
(1) 1 (przekształcenie tożsamościowe),element jednostkowy
(1 | 0,0,0)
x,y,z
1 0 0
0 1 0

0 0 1

0 0 0
0
0
0

1
symbol Seitza
jawna transformacja punktu
macierz przekształcenia
Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 6
(2) 2 (0,0,1/2) 0,0,z - oś dwukrotna śrubowa wzdłuż osi z, ma poślizg (0,0,1/2)
(2z I 0,0,
x, y , z + 1 2
− 1 0
 0 −1

0
0

0
0
1
2
)
0
0
1
0
0
0 
1 
2

0
(3) 2 0,y,1/4 - oś dwukrotna w kierunku y, przechodząca przez punkt (0,0,1/4)
(2
y
0,0, 1 2 )
x, y , z + 1 2
− 1
0

0

0
0 0 0
1 0 0 
0 − 1 12

0 0 1
(4) 2 x,0,0 - oś dwukrotna w kierunku osi x, przechodząca przez punkt (0,0,0)
(2
x
0,0,0 )
x, y , z
1 0 0
0 − 1 0

0 0 − 1

0 0 0
0
0
0

1
(5) 1 0,0,0 - inwersja (punkt symetrii)
(1 0,0,0)
x, y , z
− 1 0 0
 0 −1 0

 0 0 −1

0 0 0
0
0
0

1
Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 6
(6) m x,y,1/4 - płaszczyzna xy, bez poślizgu zawierająca punkt (0,0,1/4)
(m
xy
0,0, 1 2 )
x, y , z + 1 2
1
0

0

0
0 0 0
1 0 0 
0 − 1 12

0 0 1
(7) c x,0,z - płaszczyzna xz z poślizgiem 1/2 c wzdłuż [0,0,1]
(m
xz
0,0, 1 2 )
x, y , z + 1 2
1 0
0 − 1

0 0

0 0
0
0 
1 
2

1
0
0
1
0
(8) m 0,y,z - płaszczyzna yz bez poślizgu zawierająca punkt (0,0,0)
(m
yz
0,0,0 )
x, y , z
− 1
0

0

0
0 0 0
1 0 0
0 1 0

0 0 1
Translacje niesieciowe o wektor [1/2,1/2,0]
(1') t (1/2,1/2,0) – wektor translacji
(1
1
, 1 2 ,0)
x + 12 , y + 12 , z
1
0

0

0
2
0
1
0
0
0
0
1
0

1 
2

0

1
1
2
Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 6
(2') 2 (0,0,1/2) 1/4,1/4,z - oś dwukrotna śrubowa, równoległa do osi z,
przechodząca przez punkt (1/4,1/4,0) z poślizgiem
(0,0,1/2)
(2
z
1
2
, 12 , 12 )
x + 12 , y + 12 , z + 12
− 1 0
 0 −1

0
0

0
0
0
0
1
0

1 
2

1 
2

1
1
2
(3') 2 (0,1/2,0) 1/4,y,1/4 - oś dwukrotna śrubowa, równoległa do osi y,
przechodząca przez punkt (1/4,0,1/4) z poślizgiem
(1/2,0,0)
1
1
1
(2 y 2 , 2 , 2 )
x + 12 , y + 12 , z + 12
− 1
0

0

0
0 0 12
1 0 1 2 
0 − 1 12

0 0 1
(4') 2 (1/2,0,0) x,1/4,0 - oś dwukrotna śrubowa, równoległa do osi x,
przechodząca przez punkt (0,1/4,0), z poślizgiem
(1/2,0,0)
(2 x 1 2 , 1 2 ,0)
x, y , z
0 12
1 0
0 − 1 0 1 
2

0 0 − 1 0 


0 1
0 0
(
)
(5') 1 1/4,1/4,0 - inwersja w punkcie (1/4,1/4,0)
1 1 2 , 1 2 ,0
x, y , z
0 12
− 1 0
 0 −1 0 1 
2


0
0 −1 0 


0
0 1
0
Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 6
(6') n (1/2,1/2,0) x,y,1/4 - płaszczyzna xy z poślizgiem diagonalnym (1/2,1/2,0)
przechodząca przez punkt (0,0,1/4)
(m
xy
1
2
, 12 , 12 )
x, y , z + 1 / 2
1
0

0

0
0 0 12
1 0 1 2 
0 − 1 12

0 0 1
(7') n (1/2,0,1/2) x,1/4,z - płaszczyzna xz z poślizgiem diagonalnym (1/2,0,1/2)
przechodząca przez punkt (0,1/4,0)
(m
xz
1
2
, 12 , 12 )
x, y , z + 1 2
1 0
0 − 1

0 0

0 0


2

1 
2

1
0
1
0
1
1
0
2
(8') b 1/4,y,z - płaszczyzna yz z poślizgiem 1/2 b wzdłuż [0,1,0] zawierająca
punkt (1/4,0,0)
(m
yz
1
2
, 1 2 ,0)
x, y , z
− 1
0

0

0
0
1
0
0
0
0
1
0


2

0

1
1
1
2
Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 6
Cztery kolejne rysunki obrazują elementy symetrii przedstawione w różnych
układach odniesienia - obróconych względem siebie
Pierwszy : główny rysunek na którym zaznaczamy wszystkie elementy symetrii.
Drugi
: zmiana układu odniesienia z odwróceniem osi
2 21 2
B
gdzie B – centrowanie w płaszczyżnie prostopadłej do osi y'
mmb
Współrzędne ze starego układu przechodzą w nowy (primowany)
x → x'
y → z'
z → y'
A
21 2 2
poprzedni obrócony wokół osi z', co daje
mma
x → y'
y → z'
z → x'
Trzeci :
A
21 2 2
pierwszy obrócony wokół osi y
mam
x → z'
y → y'
z → x'
B
2 21 2
poprzedni obrócony wokół osi z'
bmm
x → z'
y → x'
z → z'
Czwarty:
przedstawia jak się transformuje element strukturalny pod działaniem
przekształceń tworzących grupę symetrii.
Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 6
generatory grupy
Położenie ogólne. Jawne transformacje
punktu xyz pod działaniem
przekształceń oznaczonych odpowiednim
numerem
Położenie
Wyckoffa
Położenia
szczególne,
więcej niż
jeden
element
symetrii
daje ten
sam obraz.
Zrzutowanie na płaszczyznę
grup dwuwymiarowych,
podany jest kierunek
rzutowania wzdłuż np. osi z
(0,0,1) a=a’ ; b=b’ to mamy
grupę C2mm. Ma to
zastosowanie przy analizie
kryształów 3-wymiarowych.
warunki jakie
muszą spełniać
wskaźniki hkl,
refleksów
obecnych na
dyfraktogramie,
pochodzących
od danego
zbioru położeń
Wyckoffa
Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wykład 6
Położenia Wyckoffa
Początkowy numer (16) podaje krotność położenia danego punktu, po
zadziałaniu na niego wszystkich elementów symetrii. Natomiast kolejnymi literami
alfabetu oznaczane są położenia od najbardziej szczególnego ( 4a), do najbardziej
ogólnego (16h).
Punkt x,y,1/4 z położenia 8g wstawiamy do jawnych transformacji punktu z
16h i widzimy, że otrzymamy tylko punkty, które są wypisane w 8g. Tak samo
postępujemy z pozostałymi punktami.
Maksymalne nieizomorficzne podgrupy H przestrzennej grupy G:
Podgrupy H są maksymalnymi podgrupami grupy G jeżeli ich indeks w grupie G jest
najmniejszy z możliwych. Podgrupy H dzielą się na dwa typy:
jeśli grupa G ma jako swoją grupę translacji T a grupa H ma jako swoja grupę
translacji T' to H należy do typu I (inaczej podgrupy typu t), jeśli grupa translacji T'
jest identyczna z gupą translacjiT.
Grupa H nalezy do typu II (inaczej podgrupy typu k) jeśli grupa translacji T' jest
podgupą grupy T. Grupa jest typu IIa jeśli komórki konwencjonalne są identyczne.
Taki typ grupy H jest możliwy, jeśli jest to podgrupa grupy G z siecią centrowaną.
Pozostałe należą do typu IIb.
W zapisie [i] - podaje indeks grupy H w grupie G, Następny jest symbol podgrupy H
w układzie odniesienia identycznym z układem standardowym dla grupy G, po nim
podany jest symbol tej podgrupy w układzie przyjętym dla tej grupy w Tablicach
Krystalograficznych i jej numer w Tablicach. Dalej wymienione sa elementy grupy G,
które należą do grupy H.
Minimalne nieizomorficzne nadgrupy N grupy G:
Nadgrupy N grupy G są grupami, których G jest podgrupą. (np. grupa D3 jest
nadgrupą grupy D2). Jeśli G jest maksymalną podgrupą grupy N, to N jest minimalną
nadgrupą grupy G.